引言
全国二卷数学试卷作为中国高考数学的重要考试之一，其难度和深度往往能反映出学生的数学水平和综合素质。本文将深入解析2017年全国二卷数学中的几道难题，旨在帮助读者全面理解解题思路和方法。
难题一：解析几何问题
题目描述
已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，直线 \(y = kx + m\) 与椭圆相交于点 \(A\)、\(B\)。
（1）若 \(k^2 = 1\)，求证：\(|AB| = 2a\)； （2）若 \(|AB| = 2\sqrt{3}\)，求椭圆的离心率 \(e\)。
解题步骤
- 解析几何基础：首先，根据椭圆的定义，确定焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的坐标。
- 直线与椭圆的交点：将直线方程代入椭圆方程，解出交点 \(A\) 和 \(B\)。
- 计算线段长度：利用两点间的距离公式计算 \(|AB|\)。
- 求离心率：根据椭圆的离心率公式 \(e = \frac{c}{a}\)，结合已知条件求出 \(e\)。
解答
（1）证明：
- 将 \(y = kx + m\) 代入椭圆方程，得到 \((1 + k^2)x^2 + 2kmx + (m^2 - a^2) = 0\)。
- 根据韦达定理，\(x_1 + x_2 = -\frac{2km}{1 + k^2}\)，\(x_1x_2 = \frac{m^2 - a^2}{1 + k^2}\)。
- 由弦长公式 \(|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2|\)，代入 \(k^2 = 1\)，得到 \(|AB| = 2a\)。
（2）解答：
- 同样，将 \(y = kx + m\) 代入椭圆方程，解出 \(x_1\) 和 \(x_2\)。
- 利用弦长公式计算 \(|AB|\)，得到 \(|AB| = 2\sqrt{3}\)。
- 结合椭圆的离心率公式 \(e = \frac{c}{a}\)，代入已知条件，解出 \(e\)。
难题二：函数问题
题目描述
已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x\)，求 \(f(x)\) 的最大值和最小值。
解题步骤
- 求导数：对函数 \(f(x)\) 求导，得到 \(f'(x)\)。
- 求临界点：令 \(f'(x) = 0\)，解出临界点。
- 判断极值：通过判断临界点处的导数符号，确定最大值和最小值。
解答
- 求导得 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
- 令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = -1\) 或 \(x = 1\)。
- 通过判断导数符号，得到 \(f(x)\) 在 \(x = -1\) 处取得最大值 \(f(-1) = 2\)，在 \(x = 1\) 处取得最小值 \(f(1) = -2\)。
总结
通过对2017年全国二卷数学难题的解析，我们不仅掌握了解题的方法和技巧，更重要的是对数学问题的理解更加深入。希望本文能对广大读者有所帮助。