引言
2012年广东高考数学试卷以其难度和深度著称，对于考生来说，不仅是对知识掌握程度的检验，更是对解题技巧和心理素质的挑战。本文将深入解析2012年广东高考数学中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。
一、2012年广东高考数学试卷概述
2012年广东高考数学试卷分为文科和理科两个版本，试卷结构包括选择题、填空题、解答题三个部分。试卷内容涵盖了函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等基础知识，同时融入了创新性和灵活性，考察学生的综合运用能力。
二、难题解析
1. 选择题
2012年选择题中，难度较高的题目主要集中在数列和概率统计部分。以下是对其中一题的解析：
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求证：数列\(\{a_n\}\)是递增数列。
解析： 证明：对于任意\(n \in \mathbb{N}^*\)，有\(a_{n+1} = 2^{n+1} - 1\)。因此，\(a_{n+1} - a_n = 2^{n+1} - 1 - (2^n - 1) = 2^n\)。由于\(2^n > 0\)，所以\(a_{n+1} > a_n\)，即数列\(\{a_n\}\)是递增数列。
2. 填空题
填空题中，难度较高的题目主要出现在立体几何和解析几何部分。以下是对其中一题的解析：
题目：在空间直角坐标系中，点\(A(1, 2, 3)\)关于平面\(x + y + z = 5\)的对称点为\(B\)，则点\(B\)的坐标为______。
解析： 设点\(B\)的坐标为\((x, y, z)\)，则向量\(\overrightarrow{AB} = (x-1, y-2, z-3)\)。由于点\(A\)和点\(B\)关于平面\(x + y + z = 5\)对称，所以向量\(\overrightarrow{AB}\)垂直于平面\(x + y + z = 5\)的法向量\(\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)\)。因此，\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 0\)，即\((x-1) + (y-2) + (z-3) = 0\)。又因为点\(A\)和点\(B\)关于平面\(x + y + z = 5\)对称，所以点\(B\)到平面的距离等于点\(A\)到平面的距离，即\(\frac{|x + y + z - 5|}{\sqrt{3}} = \frac{|1 + 2 + 3 - 5|}{\sqrt{3}}\)。解得\(x = 4, y = 3, z = 4\)。因此，点\(B\)的坐标为\((4, 3, 4)\)。
3. 解答题
解答题中，难度较高的题目主要出现在函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等部分。以下是对其中一题的解析：
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求函数\(f(x)\)的极值。
解析： 首先，求函数\(f(x)\)的导数\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)或\(x = \frac{2}{3}\)。接下来，求函数\(f(x)\)的二阶导数\(f''(x) = 6x - 6\)。当\(x = 1\)时，\(f''(1) = 0\)，无法判断极值；当\(x = \frac{2}{3}\)时，\(f''(\frac{2}{3}) = 0\)，无法判断极值。因此，需要通过其他方法判断极值。根据导数的符号变化，可以得出结论：当\(x = 1\)时，函数\(f(x)\)取得极大值\(f(1) = 3\)；当\(x = \frac{2}{3}\)时，函数\(f(x)\)取得极小值\(f(\frac{2}{3}) = \frac{5}{27}\)。
三、备考策略
1. 基础知识
扎实掌握数学基础知识是解决难题的前提。考生应重点复习函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等基础知识，并能够灵活运用。
2. 解题技巧
在备考过程中，考生应注重解题技巧的培养。例如，对于选择题和填空题，要学会运用排除法、代入法等技巧；对于解答题，要学会运用分析法、综合法、构造法等技巧。
3. 心理素质
高考是一场心理素质的较量。考生在备考过程中要树立信心，保持良好的心态，遇到难题时要冷静思考，避免慌乱。
4. 模拟训练
通过模拟训练，考生可以熟悉高考的题型和难度，提高解题速度和准确率。同时，模拟训练也有助于考生调整心态，适应高考的节奏。
总之，备考2012年广东高考数学需要考生在基础知识、解题技巧、心理素质和模拟训练等方面下功夫。相信通过努力，考生一定能够在高考中取得优异成绩。