揭秘2013南通一模：深度剖析数学难题，助力考生精准备战

引言

数学作为高考的重要组成部分，一直是考生关注的焦点。南通一模作为高考前的重要模拟考试，其难度和题型往往能反映出高考的命题趋势。本文将深度剖析2013年南通一模中的数学难题，帮助考生了解命题思路，精准备战高考。

2013年南通一模数学试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，共25题。其中，选择题和填空题考察基础知识和基本技能，解答题则侧重于综合运用知识解决实际问题。

（1）题目：若函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$在区间$(0,1)$内单调递增，则实数$a$的取值范围是？

解答：

首先，求出函数$f(x)$的导数： $$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$$

由于$(x-1)^2>0$，所以$f'(x)>0$，即函数$f(x)$在区间$(0,1)$内单调递增。

接下来，考虑实数$a$的取值范围。由于$f(x)$在区间$(0,1)$内单调递增，所以当$x=a$时，$f(a)$为$f(x)$在该区间内的最小值。因此，$a$的取值范围为$(0,1)$。

（1）题目：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则$a+b+c=$

解答：

首先，求出函数$f(x)$的导数： $$f'(x)=2ax+b$$

由于函数在$x=1$处取得极值，所以$f'(1)=0$。即： $$2a+b=0$$

接下来，由于$f(x)$在$x=1$处取得极值，所以$f(1)$为$f(x)$在$x=1$处的函数值。即： $$f(1)=a+b+c$$

由于$f'(1)=0$，代入得： $$a+b+c=0$$

（1）题目：已知函数$f(x)=\frac{x^3}{x-1}$，求$f(x)$在区间$(0,2)$内的最大值和最小值。

解答：

首先，求出函数$f(x)$的导数： $$f'(x)=\frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}=\frac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2}$$

令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=\frac{3}{2}$。接下来，考察$f(x)$在区间$(0,2)$内的单调性。

当$x\in(0,\frac{3}{2})$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减；当$x\in(\frac{3}{2},2)$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。

因此，$f(x)$在区间$(0,2)$内的最大值为$f(\frac{3}{2})$，最小值为$f(0)$。计算得： $$f(\frac{3}{2})=\frac{27}{8},\quad f(0)=0$$

通过对2013年南通一模数学试卷的难题剖析，我们可以看出，高考数学试题注重考察考生的基础知识和综合运用能力。考生在备考过程中，应注重基础知识的学习，同时加强解题技巧的训练，提高解题速度和准确率。