揭秘2013年湖南数学高考：那些年我们一起解的难题与启示

引言

2013年湖南数学高考作为高考历史上的一个重要节点，其试题内容丰富、难度较高，给广大考生留下了深刻的印象。本文将回顾2013年湖南数学高考的难点题目，并从中提炼出一些对学习和思考的启示。

2013年湖南数学高考采用全国统一命题，试卷分为文科和理科两个版本。试卷结构包括选择题、填空题、解答题三个部分，涵盖了函数、数列、几何、概率统计等多个数学分支。

题目：已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的值域。

解析：首先，对函数进行化简： $$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}$$

由于$x(x+1)$在$x\neq0$和$x\neq-1$时恒大于0，因此$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。

题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。

解析：根据通项公式，有： $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}$$

当$n\to\infty$时，$2^n$的增长速度远大于1，因此$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2$。

题目：在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，点B(3,4)，求直线AB的方程。

解析：直线AB的斜率为： $$k=\frac{4-2}{3-1}=1$$

因此，直线AB的方程为： $$y-2=1(x-1)$$y=x+1$$

题目：袋中有5个红球、3个蓝球和2个绿球，从中随机取出3个球，求取出的3个球都是红球的概率。

解析：取出的3个球都是红球的概率为： $$P=\frac{C_5^3}{C_{10}^3}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$$