引言

2013年陕西数学高考作为历年高考的重要参考，其试题内容和难度一直备受考生和教师关注。本文将深入解析2013年陕西数学高考中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考。

一、2013年陕西数学高考难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的右焦点为\(F\)，点\(P\)在椭圆上，且\(PF=2b\)，求证：\(OP\)垂直于\(PF\)。

解题思路：

  1. 利用椭圆的定义，将\(PF=2b\)转化为关于\(x\)和\(y\)的方程。
  2. 利用点\(P\)在椭圆上的条件，建立关于\(x\)和\(y\)的方程组。
  3. 求解方程组，得到点\(P\)的坐标。
  4. 利用向量点积判断\(OP\)和\(PF\)是否垂直。

解题步骤：

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y = symbols('x y')
a, b = 2, 1  # 椭圆的半长轴和半短轴
# 椭圆方程
ellipse_eq = Eq(x**2/a**2 + y**2/b**2, 1)
# 焦点到点P的距离
PF_eq = Eq((x-0)**2 + (y-0)**2, b**2)
# 解方程组
solution = solve([ellipse_eq, PF_eq], (x, y))
# 计算向量OP和PF的点积
dot_product = (solution[x]*0 + solution[y]*1) * (0 - 0)
# 判断是否垂直
is_perpendicular = dot_product == 0

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\)，求证：\(\{a_n\}\)是递增数列。

解题思路：

  1. 利用数学归纳法证明。
  2. 首先证明\(a_2>a_1\)。
  3. 假设\(a_n>a_{n-1}\)，证明\(a_{n+1}>a_n\)。

解题步骤：

# 定义数列
def a_n(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return a_n(n-1)**2 - a_n(n-1) + 1

# 验证数列是否递增
def is_increasing_sequence(n):
    return a_n(n) > a_n(n-1)

# 测试
print(is_increasing_sequence(2))  # 验证a2是否大于a1
print(is_increasing_sequence(3))  # 验证an是否大于an-1

二、备考策略

1. 熟悉考试大纲和题型

考生应熟悉2013年陕西数学高考的考试大纲和题型，了解各个题型的考查重点和难度。

2. 加强基础知识的训练

基础知识是解决难题的基础，考生应加强基础知识的训练，提高解题能力。

3. 注重解题方法的积累

解题方法是解决难题的关键，考生应注重解题方法的积累，提高解题效率。

4. 做好模拟题和历年真题

通过做模拟题和历年真题，考生可以熟悉考试环境和题型，提高应试能力。

结语

2013年陕西数学高考的难题解析和备考策略对于考生来说具有重要的参考价值。希望考生能够通过本文的解析和策略，提高自己的数学水平，取得优异的成绩。