引言

高考数学试卷一直是考生和家长关注的焦点，它不仅考察学生的数学基础知识，还考察学生的逻辑思维和解决问题的能力。本文将深入解析2013年重庆高考数学试卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、试卷概述

2013年重庆高考数学试卷分为文科和理科两个版本，共分为选择题、填空题、解答题三个部分。试卷内容涵盖了函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等数学基础知识。

二、难题解析

1. 难题一：函数题

题目描述：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+2\)，求\(f(x)\)的图像与\(x\)轴的交点个数。

解析：

  • 通过求导数\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
  • 通过分析\(f'(x)\)的符号，可以知道当\(x<\frac{2}{3}\)或\(x>1\)时，\(f(x)\)单调递增；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f(x)\)单调递减。
  • 计算特殊点的函数值，如\(f(0)=2\)，\(f(\frac{2}{3})=\frac{58}{27}\)，\(f(1)=0\)，\(f(2)=2\)。
  • 综合以上分析，\(f(x)\)的图像与\(x\)轴的交点个数为2。

2. 难题二：数列题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=3^n-2^n\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解析：

  • 将通项公式代入，得到\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n}\)。
  • 通过分子分母同时除以\(2^n\)，得到\(\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot3^n-2\cdot2^n}{3^n-2^n}\)。
  • 当\(n\to\infty\)时，\(2^n\)趋于无穷大，因此\(\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot3^n-2\cdot2^n}{3^n-2^n}=3\)。

3. 难题三：立体几何题

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的边长为\(a\)，求点\(E\)在平面\(A_1B_1C_1D_1\)上的投影\(E'\)到直线\(A_1B_1\)的距离。

解析：

  • 通过连接\(A_1E\)和\(E'B_1\)，构造直角三角形\(A_1EE'\)。
  • 根据勾股定理，\(EE'=\sqrt{A_1E^2-E'E^2}\)。
  • 由于\(A_1E=\sqrt{2}a\)，\(E'E=\frac{a}{2}\)，代入公式得到\(EE'=\frac{\sqrt{6}}{2}a\)。

三、备考策略

1. 系统复习基础知识

考生应系统复习高中数学基础知识，包括函数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率统计等。

2. 加强练习解题技巧

考生应通过大量练习提高解题技巧，包括阅读理解能力、逻辑思维能力、计算能力和空间想象能力。

3. 关注热点和难点

考生应关注高考数学的热点和难点，针对性地进行复习和练习。

4. 合理安排时间

考生应合理分配时间，确保在考试中能够充分展示自己的水平。

总结

2013年重庆高考数学试卷中的难题考察了学生的数学基础知识和解题能力。通过本文的解析和备考策略，考生可以更好地准备高考数学考试，取得理想的成绩。