引言
数学作为一门逻辑严谨的学科，其解题过程往往充满了挑战。2014年宝安区二模数学试卷中的一道难题，不仅考验了学生的数学思维能力，也引发了教育界和广大数学爱好者的广泛关注。本文将深入解析这道难题，探讨其解题思路，并分析其背后的数学原理。
难题回顾
2014年宝安区二模数学试卷中的一道难题如下：
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x) \geq 2\)。
解题思路
步骤一：函数变形
首先，对函数\(f(x)\)进行变形，以便于分析：
\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 = (x^3 - 3x^2 + 4x) + 1\]
步骤二：因式分解
接下来，对\(x^3 - 3x^2 + 4x\)进行因式分解：
\[x^3 - 3x^2 + 4x = x(x^2 - 3x + 4)\]
步骤三：分析因式
由于\(x^2 - 3x + 4\)是一个二次多项式，我们需要判断其判别式\(\Delta\)：
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7\]
由于\(\Delta < 0\)，说明\(x^2 - 3x + 4\)在实数范围内没有根，即对于任意实数\(x\)，\(x^2 - 3x + 4 > 0\)。
步骤四：结论
由于\(x^2 - 3x + 4 > 0\)，且\(x\)为任意实数，所以\(x(x^2 - 3x + 4) > 0\)。因此，\(f(x) = x(x^2 - 3x + 4) + 1 > 0 + 1 = 1\)。
但是，我们需要证明\(f(x) \geq 2\)。为了证明这一点，我们可以构造一个辅助函数\(g(x)\)：
\[g(x) = f(x) - 2 = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 - 2 = x^3 - 3x^2 + 4x - 1\]
步骤五：分析辅助函数
同样地，我们对\(g(x)\)进行因式分解：
\[g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = (x - 1)(x^2 - 2x + 1)\]
由于\(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\)，所以\(g(x) = (x - 1)^2(x + 1)\)。
步骤六：结论
由于\((x - 1)^2 \geq 0\)，且\(x + 1\)为任意实数，所以\(g(x) = (x - 1)^2(x + 1) \geq 0\)。因此，\(f(x) = g(x) + 3 \geq 3\)。
综上所述，我们证明了对于任意实数\(x\)，都有\(f(x) \geq 2\)。
总结
这道难题通过函数变形、因式分解、辅助函数等数学方法，巧妙地解决了问题。它不仅考验了学生的数学思维能力，也让我们领略到了数学的严谨性和美妙。通过这道题目，我们可以看到数学解题过程中的挑战与突破并存，这正是数学的魅力所在。