引言

中考作为我国中学教育中非常重要的一环，其试题质量往往能够反映出当年的教育趋势和命题风格。2014年的佳木斯中考数学试卷中，涌现出一些让人头疼的难题，本文将针对这些难题进行详细解析，并分享相应的解题技巧。

难题一：函数与方程的综合应用

题目：已知函数 \(f(x) = \frac{2}{x} + x\)，若 \(f(x_1) = f(x_2)\)，且 \(x_1 \neq x_2\)，求 \(x_1 + x_2\) 的值。

解题步骤：

  1. 将 \(f(x_1)\) 和 \(f(x_2)\) 代入原函数，得到方程组： $\( \begin{cases} \frac{2}{x_1} + x_1 = \frac{2}{x_2} + x_2 \\ x_1 \neq x_2 \end{cases} \)$

  2. 整理方程，得到： $\( x_1^2 - x_2^2 = 2(x_2 - x_1) \)$

  3. 因式分解，得到： $\( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 2) = 0 \)$

  4. 由 \(x_1 \neq x_2\)，可得 \(x_1 + x_2 = 2\)。

解题技巧：

  1. 函数与方程的综合性题目，关键在于正确建立方程关系。
  2. 适当地利用因式分解技巧，简化方程，便于求解。

难题二：立体几何与三角形的综合应用

题目：已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的棱长为 \(a\)，\(E\) 为 \(A_1D_1\) 的中点，求 \(\angle CEA\) 的大小。

解题步骤：

  1. 以 \(A\) 为原点，\(AB\) 为 \(x\) 轴，\(AD\) 为 \(y\) 轴，\(AA_1\) 为 \(z\) 轴建立空间直角坐标系。

  2. 求出 \(E\)，\(C\)，\(A\) 的坐标分别为 \((0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})\)，\((a, 0, 0)\)，\((0, 0, 0)\)。

  3. 利用向量点乘求 \(\angle CEA\) 的余弦值： $\( \cos \angle CEA = \frac{\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{EA}}{|\overrightarrow{CE}| \cdot |\overrightarrow{EA}|} \)$

  4. 化简得： $\( \cos \angle CEA = \frac{-\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)$

  5. 求 \(\angle CEA\) 的大小，得 \(\angle CEA = 45^\circ\)。

解题技巧：

  1. 空间几何问题，关键是建立空间直角坐标系。
  2. 利用向量的点乘求解角度问题。

结语

通过对2014年佳木斯中考数学试卷中难题的解析，我们了解了函数与方程、立体几何与三角形的综合应用技巧。这些技巧对于提高数学思维能力，应对中考数学试题具有重要作用。