一、2015福建卷理科数学概述
2015年福建卷理科数学考试涵盖了高中数学的核心知识，包括函数、三角函数、立体几何、解析几何、数列、概率统计等模块。本卷旨在考查学生的数学思维能力、运算能力和解决实际问题的能力。以下是本卷的难点解析和备考策略。
二、难题解析
1. 函数与导数
题目回顾：给定函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求证：在区间 \([0,2]\) 上，\(f(x)\) 存在一点 \(\xi\)，使得 \(f'(\xi) = \frac{2}{3}\)。
解析：
首先，对函数 \(f(x)\) 求导得 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。要证明存在 \(\xi \in [0,2]\)，使得 \(f'(\xi) = \frac{2}{3}\)，可以构造一个辅助函数 \(g(x) = f'(x) - \frac{2}{3}\)，然后证明 \(g(x)\) 在 \([0,2]\) 上存在零点。
具体步骤如下：
- 求导：\(g'(x) = 6x - 6\)。
- 判断单调性：\(g'(x)\) 在 \([0,2]\) 上单调递增。
- 求端点值：\(g(0) = -\frac{2}{3}\)，\(g(2) = 2\)。
- 根据零点定理，存在 \(\xi \in (0,2)\)，使得 \(g(\xi) = 0\)，即 \(f'(\xi) = \frac{2}{3}\)。
2. 立体几何
题目回顾：已知长方体的长、宽、高分别为 \(2a\)、\(3a\)、\(4a\)，求长方体对角线的长度。
解析：
设长方体对角线长度为 \(d\)，则根据勾股定理，有：
\[ d^2 = (2a)^2 + (3a)^2 + (4a)^2 \]
化简得：
\[ d^2 = 29a^2 \]
因此，长方体对角线长度为 \(d = \sqrt{29}a\)。
3. 解析几何
题目回顾：设椭圆 \(C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的左焦点为 \(F_1(-c,0)\)，右焦点为 \(F_2(c,0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(\angle F_1PF_2 = 120^\circ\)，求椭圆的离心率。
解析：
根据椭圆的定义，有 \(c^2 = a^2 - b^2\)。设 \(\angle F_1PF_2\) 的对边为 \(PF_1\)，则 \(PF_1 = \sqrt{3}c\)。由余弦定理，可得：
\[ PF_2^2 = PF_1^2 + F_1F_2^2 - 2 \cdot PF_1 \cdot F_1F_2 \cdot \cos 120^\circ \]
代入已知条件，化简得：
\[ a^2 = 4c^2 \]
因此，椭圆的离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
三、备考策略
1. 夯实基础知识
备考2015年福建卷理科数学，首先要夯实基础知识，熟练掌握各个模块的基本概念、公式和定理。
2. 加强练习
通过大量的练习，提高解题速度和准确率。建议学生做历年真题和模拟题，了解考试题型和难度。
3. 注重解题方法
学习解题方法，掌握解题技巧，提高解题能力。对于难题，要学会从不同角度思考，寻找解题思路。
4. 保持良好心态
考试前要保持良好的心态，避免过度紧张。合理安排作息时间，确保充足的睡眠和良好的精神状态。
通过以上策略，相信同学们在2015年福建卷理科数学考试中能够取得优异成绩。