揭秘2015年北京高考数学：难题解析与备考策略大揭秘

引言

2015年北京高考数学试卷在广大考生和教师中引起了广泛关注。本文将深入解析2015年北京高考数学试卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、试卷概述

2015年北京高考数学试卷分为文科和理科两部分，试卷结构包括选择题、填空题、解答题等。试卷整体难度适中，但在某些题目上对考生的逻辑思维和计算能力提出了较高要求。

二、难题解析

1. 选择题

题目描述：某函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+5\)在区间\((0,+\infty)\)上存在一个零点。

解题思路：首先，观察函数的图像，发现函数在\(x=0\)处为正，在\(x=1\)处为负，根据零点存在定理，可知在\((0,1)\)区间内存在一个零点。其次，利用导数研究函数的增减性，确定零点的具体位置。

解析：函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上连续，且\(f(0)=5>0\)，\(f(1)=-1<0\)，根据零点存在定理，存在\(x_0\in(0,1)\)使得\(f(x_0)=0\)。对函数求导得\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。当\(x\in(0,\frac{2}{3})\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(x\in(\frac{2}{3},1)\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。因此，\(x_0\in(\frac{2}{3},1)\)。

2. 填空题

题目描述：设\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差数列的前三项，且\(a+b+c=9\)，\(abc=27\)，则\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)的值为______。

解题思路：根据等差数列的性质，可得\(a+b+c=3b=9\)，从而求得\(b=3\)。再利用立方和公式，结合\(abc=27\)，求得\(a\)，\(c\)的值，进而求出\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)的值。

解析：由\(a+b+c=9\)，得\(b=3\)。又\(abc=27\)，得\(c=9\)。设等差数列的公差为\(d\)，则\(a=3-d\)，\(c=3+d\)。将\(a\)，\(b\)，\(c\)的值代入\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)，得\(\frac{3-d}{3}+\frac{3}{3+d}+\frac{3+d}{3-d}=3\)。

3. 解答题

题目描述：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+5\)，求\(f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)上的最大值和最小值。

解题思路：首先，求出函数的导数\(f'(x)\)，令\(f'(x)=0\)，求得驻点。然后，通过判断驻点处的导数符号，确定函数的单调性。最后，根据单调性，求得函数的最大值和最小值。

解析：函数\(f(x)\)的导数为\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。当\(x\in(0,\frac{2}{3})\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(x\in(\frac{2}{3},1)\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。因此，\(f(x)\)在\(x=\frac{2}{3}\)处取得局部最大值，最大值为\(f(\frac{2}{3})=\frac{59}{27}\)；在\(x=1\)处取得局部最小值，最小值为\(f(1)=-1\)。

三、备考策略

基础知识：熟练掌握数学基础知识，包括代数、几何、三角等。
解题技巧：掌握各种解题技巧，如分析法、综合法、构造法等。
模拟训练：多做模拟试题，熟悉高考题型和难度。
心理调整：保持良好的心态，避免考前焦虑。
时间管理：合理分配时间，确保每道题目都有足够的时间完成。