引言
2015年江苏高考数学试卷以其难度和深度著称，其中不乏一些让考生头疼的难题。本文将针对这些难题进行详细解析，并探讨相应的应对策略，帮助考生在未来的考试中更好地应对类似问题。
一、难题解析
1. 难题一：函数与导数的综合应用
题目示例：
已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求函数的极值点和拐点。
解析：
这道题目主要考察函数的导数应用，需要考生熟练掌握求导法则和极值、拐点的判断条件。
解答步骤：
- 求函数的一阶导数\(f'(x)\)。
- 令\(f'(x) = 0\)，求出极值点。
- 求函数的二阶导数\(f''(x)\)。
- 判断极值点的性质，确定极值点和拐点。
代码示例：
def f(x):
return x**3 - 3*x**2 + 4
def derivative(f, x):
return f'(x)
def second_derivative(f, x):
return f''(x)
x = 0
f_prime = derivative(f, x)
f_double_prime = second_derivative(f, x)
print(f"极值点：{x}, 极值：{f(x)}")
print(f"拐点：{x}, 拐点处的二阶导数：{f_double_prime}")
2. 难题二：立体几何与空间解析几何的综合应用
题目示例：
已知空间直角坐标系中，点\(A(1,2,3)\)，点\(B(4,5,6)\)，点\(C(7,8,9)\)，求\(\triangle ABC\)的外心。
解析：
这道题目考察了立体几何和空间解析几何的综合应用，需要考生具备较强的空间想象能力和计算能力。
解答步骤：
- 求出\(\triangle ABC\)的三条边的中点。
- 求出\(\triangle ABC\)的三条边的垂直平分线。
- 求出\(\triangle ABC\)的垂直平分线的交点，即为外心。
代码示例：
def midpoint(p1, p2):
return ((p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2, (p1[2] + p2[2]) / 2)
def cross_product(p1, p2):
return (p1[1]*p2[2] - p1[2]*p2[1], p1[2]*p2[0] - p1[0]*p2[2], p1[0]*p2[1] - p1[1]*p2[0])
def line_intersection(line1, line2):
direction1 = (line1[1][0] - line1[0][0], line1[1][1] - line1[0][1], line1[1][2] - line1[0][2])
direction2 = (line2[1][0] - line2[0][0], line2[1][1] - line2[0][1], line2[1][2] - line2[0][2])
normal = cross_product(direction1, direction2)
return (line1[0][0] + normal[0]/normal[2]*(line2[0][2] - line1[0][2]), line1[0][1] + normal[1]/normal[2]*(line2[0][2] - line1[0][2]), line1[0][2] + normal[2]/normal[2]*(line2[0][2] - line1[0][2]))
A = (1, 2, 3)
B = (4, 5, 6)
C = (7, 8, 9)
midpoint_AB = midpoint(A, B)
midpoint_BC = midpoint(B, C)
midpoint_CA = midpoint(C, A)
line_AB = (midpoint_AB, midpoint_AB + (C - B))
line_BC = (midpoint_BC, midpoint_BC + (A - C))
line_CA = (midpoint_CA, midpoint_CA + (B - A))
intersection = line_intersection(line_AB, line_BC)
print(f"外心坐标：{intersection}")
3. 难题三：数列与不等式的综合应用
题目示例：
已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 2}\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
解析：
这道题目考察了数列与不等式的综合应用，需要考生具备较强的数列性质和不等式解法能力。
解答步骤：
- 证明数列\(\{a_n\}\)单调递增。
- 利用不等式证明数列\(\{a_n\}\)有界。
- 根据单调有界定理，求出\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
代码示例：
def limit(a_n):
n = 1
while True:
a_n = (a_n**2 + 2)**0.5
if abs(a_n - n) < 0.0001:
return n
n += 1
a_n = 1
print(f"数列的极限：{limit(a_n)}")
二、应对策略
1. 加强基础知识的掌握
针对以上难题，考生需要加强基础知识的掌握，包括函数、导数、立体几何、数列等。
2. 培养空间想象能力
在解决立体几何和空间解析几何问题时，考生需要具备较强的空间想象能力，可以通过画图、构建模型等方式进行训练。
3. 注重解题方法的总结
考生在解题过程中要注意总结解题方法，对常见的题型进行归纳总结，提高解题效率。
4. 做好心理调节
面对难题，考生要做好心理调节，保持冷静，不要慌张，逐步分析问题，寻找解题思路。
结语
通过对2015年江苏高考数学难题的解析与应对策略探讨，希望考生能够在未来的考试中取得更好的成绩。在备考过程中，考生要注重基础知识的学习，提高解题能力，培养良好的心理素质，相信一定能够克服困难，取得理想的成绩。