一、试卷概述
2015年重庆卷数学试卷分为两部分：选择题和非选择题。选择题包括填空题和选择题，非选择题包括解答题和证明题。本解析将针对其中的典型题目进行详细解答和技巧分享。
二、选择题解析
1. 填空题
题目：若函数\(f(x)=x^3-3x^2+ax+b\)在\(x=1\)处取得极值，则\(a+b=\)
解析：
- 首先求导数\(f'(x)=3x^2-6x+a\)。
- 由于\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，因此\(f'(1)=0\)，即\(3-6+a=0\)，解得\(a=3\)。
- 将\(a=3\)代入原函数，得\(f(x)=x^3-3x^2+3x+b\)。
- 由于\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，因此\(f(1)=0\)，即\(1-3+3+b=0\)，解得\(b=-1\)。
- 所以\(a+b=3+(-1)=2\)。
2. 选择题
题目：若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_5=50\)，\(S_8=100\)，则\(a_6+a_7+a_8=\)
解析：
- 根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\)，其中\(a_1\)为首项，\(d\)为公差。
- 由\(S_5=50\)，得\(5a_1+10d=50\)，即\(a_1+2d=10\)。
- 由\(S_8=100\)，得\(8a_1+28d=100\)，即\(a_1+3.5d=12.5\)。
- 解得\(a_1=2\)，\(d=3\)。
- 所以\(a_6+a_7+a_8=3a_1+12d=2\times3+12\times3=42\)。
三、解答题解析
1. 解答题一
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+ax+b\)，其中\(a\)，\(b\)为常数，且\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值。
（1）求\(a\)，\(b\)的值； （2）求\(f(x)\)的单调区间。
解析：
- （1）同填空题解析，得\(a=3\)，\(b=-1\)。
- （2）求导数\(f'(x)=3x^2-6x+3\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)。
- 当\(x<1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(x>1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减。
- 所以\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,1)\)，单调递减区间为\((1,+\infty)\)。
2. 解答题二
题目：已知函数\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)，求\(f(x)\)的导数。
解析：
- 使用导数的定义和求导法则，得\(f'(x)=\frac{(2x)(x-2)-(x^2-4)}{(x-2)^2}\)。
- 化简得\(f'(x)=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2}\)。
- 所以\(f'(x)=\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}=1\)。
四、证明题解析
题目：证明：若等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，则\(a_n=a_1+(n-1)d\)。
解析：
- 假设\(a_1\)为数列的首项，\(d\)为数列的公差。
- 根据等差数列的定义，有\(a_2=a_1+d\)，\(a_3=a_2+d=a_1+2d\)，以此类推。
- 由此可得\(a_n=a_1+(n-1)d\)。
- 证明完毕。