一、真题概述
2015年重庆高考数学试卷以其题目新颖、难度适中而备受关注。本文将围绕2015年重庆高考数学真题中的难题进行解析，并提供相应的备考策略。
二、真题难题解析
1. 难题一：解析几何
题目：已知椭圆 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，直线 \(y = kx + b\) 与椭圆相切。
（1）求证：\(k^2 - 4b^2 = 3\)； （2）当直线过点 \(A(2,1)\) 时，求 \(k\) 的取值范围。
解析：
（1）设切点为 \(P(x_0, y_0)\)，则有 $\( \begin{cases} \frac{x_0^2}{4} + \frac{y_0^2}{3} = 1 \\ y_0 = kx_0 + b \end{cases} \)\( 代入椭圆方程，消去 \)y_0\(，得到关于 \)x_0\( 的一元二次方程，其判别式 \)\Delta = 0$，即可求证。
（2）将点 \(A(2,1)\) 代入直线方程，得 \(1 = 2k + b\)。由（1）可得 \(k^2 - 4b^2 = 3\)，解得 \(k\) 的取值范围。
2. 难题二：概率与统计
题目：从装有 \(2\) 个红球、\(3\) 个黄球的袋子里随机抽取 \(2\) 个球，求取出的球中至少有 \(1\) 个红球的概率。
解析：
设事件 \(A\) 为“取出的球中至少有 \(1\) 个红球”，事件 \(B\) 为“取出的球中都是红球”。则 $\( P(A) = P(B) + P(\text{恰有 \)1\( 个红球}) = \frac{1}{2} + \frac{C_2^1 \cdot C_3^1}{C_5^2} \)$ 计算即可得解。
3. 难题三：三角函数
题目：若 \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\)，求 \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) 的值。
解析：
由 \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 和 \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\)，可得到 \(\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)。故 $\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \)$
三、备考策略
掌握基础知识点：针对高考数学各部分的知识点进行系统梳理，确保基础扎实。
培养解题思路：在平时的练习中，注重培养自己的解题思路，学会运用不同的方法解题。
模拟真题训练：通过模拟真题训练，熟悉高考题目的难度和出题规律，提高解题速度。
总结经验教训：在练习过程中，总结自己的错误和不足，及时调整学习方法。
注重数学思维能力：数学思维能力的培养对于解题至关重要，可通过阅读数学书籍、参加数学竞赛等方式提升。
通过以上解析和策略，相信广大考生能够在2015年重庆高考数学中取得优异的成绩。