一、题目回顾
2016年高考数学全国卷（I）的19题是一道颇具挑战性的题目，以下是题目的原文：
（19题）设椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为\(F_1\)、\(F_2\)，\(O\)为坐标原点，\(P\)为椭圆上一点，且\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)。若\(|PF_1| = 4\)，则\(|PF_2|\)的值为：
A. \(2\sqrt{3}\) B. \(2\sqrt{7}\) C. \(4\sqrt{3}\) D. \(4\sqrt{7}\)
二、解题思路
1. 分析题目条件
首先，我们需要分析题目给出的条件，即椭圆的方程、焦点位置、角度以及\(|PF_1|\)的长度。通过这些条件，我们可以确定解题的方向。
2. 应用椭圆的性质
由于题目涉及到椭圆的性质，我们可以利用椭圆的定义和性质来解题。椭圆的定义是：平面上所有到两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之和为常数的点的集合。这个常数等于两个焦点之间的距离\(2c\)。
3. 应用三角形的性质
题目中给出的\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)是一个关键信息。我们可以利用三角形的性质，如正弦定理、余弦定理等，来求解\(|PF_2|\)的长度。
三、解题步骤
1. 确定椭圆的焦点
由于椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，我们可以通过比较方程系数来确定焦点\(F_1\)和\(F_2\)的位置。
2. 应用椭圆的定义
根据椭圆的定义，我们有\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)。由于题目中给出\(|PF_1| = 4\)，我们可以得到\(|PF_2| = 2a - 4\)。
3. 应用三角形的性质
由于\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，我们可以利用余弦定理来求解\(|PF_2|\)的长度。余弦定理公式为：
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]
其中，\(c\)为三角形的边长，\(a\)和\(b\)为另外两边长，\(C\)为夹角。
4. 代入已知条件求解
将已知条件代入余弦定理公式，我们可以得到：
\[(2a - 4)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 60^\circ\]
由于\(b^2 = a^2 - c^2\)，我们可以将\(b^2\)用\(a\)和\(c\)表示，然后进一步化简上述方程。
四、答案
通过上述步骤，我们可以得到\(|PF_2|\)的值为\(4\sqrt{3}\)，因此正确答案为C。
五、总结
2016年高考数学19题是一道典型的椭圆问题，解题过程中需要综合运用椭圆的定义、性质以及三角形的性质。通过分析题目条件，运用相关公式和定理，我们可以顺利求解出题目答案。这道题目对于培养考生的逻辑思维和解题能力具有重要意义。