引言

高考数学作为高考的重要组成部分，历来备受考生和家长的关注。2016年高考数学一卷中，不乏一些让考生头疼的难题。本文将针对这些难题进行解析，并提供相应的应对策略，帮助考生在未来的考试中更好地应对类似问题。

一、解析难题一：圆锥曲线问题

难题描述

题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点分别为\(F_1(-c,0)\)、\(F_2(c,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，求\(\frac{b^2}{a^2}\)的值。

解析

  1. 分析题目：本题考查椭圆的性质，需要运用椭圆的定义和几何关系。
  2. 解题步骤：
    • 根据椭圆的定义，有\(PF_1+PF_2=2a\)。
    • 由\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，可得\(PF_1^2+PF_2^2=F_1F_2^2\)。
    • 将\(PF_1+PF_2=2a\)代入\(PF_1^2+PF_2^2=F_1F_2^2\)，得到\((PF_1+PF_2)^2-2PF_1\cdot PF_2=F_1F_2^2\)。
    • 化简得\(4a^2-2PF_1\cdot PF_2=4c^2\)。
    • 由椭圆的定义，有\(PF_1+PF_2=2a\)，代入上式得\(4a^2-2PF_1\cdot PF_2=4c^2\)。
    • 由椭圆的性质，有\(a^2=b^2+c^2\)，代入上式得\(4a^2-2PF_1\cdot PF_2=4a^2-4b^2\)。
    • 化简得\(PF_1\cdot PF_2=2b^2\)。
    • 由椭圆的定义，有\(PF_1+PF_2=2a\)，代入上式得\(PF_1\cdot PF_2=2a^2-2PF_1\cdot PF_2\)。
    • 化简得\(PF_1\cdot PF_2=\frac{2a^2}{3}\)。
    • 由椭圆的性质，有\(a^2=b^2+c^2\)，代入上式得\(\frac{2a^2}{3}=2b^2\)。
    • 化简得\(\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{3}\)。

应对策略

  1. 熟悉椭圆的定义和性质：在解题过程中，要熟练掌握椭圆的定义和性质，如椭圆的定义、焦点、离心率等。
  2. 运用几何关系：本题中，通过运用\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)这一几何关系，将问题转化为代数问题，从而求解出\(\frac{b^2}{a^2}\)的值。
  3. 化简技巧：在解题过程中，要注意化简技巧，如将\(PF_1+PF_2=2a\)代入\(PF_1^2+PF_2^2=F_1F_2^2\)，从而得到\((PF_1+PF_2)^2-2PF_1\cdot PF_2=F_1F_2^2\)。

二、解析难题二：数列问题

难题描述

题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}\)的值。

解析

  1. 分析题目：本题考查数列的极限，需要运用数列的通项公式和极限的定义。
  2. 解题步骤：
    • 根据数列的通项公式，有\(a_n=2^n-1\)。
    • 将\(a_n=2^n-1\)代入\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}\)，得到\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}\)。
    • 由极限的定义，当\(n\to\infty\)时，\(2^n\to\infty\)，\(3^n\to\infty\)。
    • 将\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}\)转化为\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{3^n}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}\)。
    • 由极限的性质，有\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n=0\)，\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}=0\)。
    • 因此，\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{3^n}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}=0-0=0\)。

应对策略

  1. 熟悉数列的通项公式：在解题过程中，要熟练掌握数列的通项公式，如本题中的\(a_n=2^n-1\)。
  2. 运用极限的定义：本题中，通过运用极限的定义，将问题转化为求\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}\)的值。
  3. 极限的性质：在解题过程中，要注意运用极限的性质，如本题中的\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n=0\)。

总结

通过对2016年高考数学一卷中两个难题的解析，我们可以看到，解题过程中需要运用到椭圆的定义和性质、数列的通项公式和极限的定义等知识点。在应对类似问题时，我们要熟悉相关知识点，运用几何关系和化简技巧，从而更好地解决问题。