引言

2016年广东省中考数学试卷中，出现了一些颇具挑战性的题目，其中不乏一些难度较高的难题。本文将针对这些难题，分析其解题思路，并提供相应的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握解题方法。

一、2016年广东省中考数学难题分析

1. 难题一：函数与方程问题

题目描述：已知函数\(f(x)=x^2-2ax+a^2\)，其中\(a\)为实数。若\(f(x)\)的图像与\(x\)轴有两个交点，求\(a\)的取值范围。

解题思路：

  • 利用二次函数的判别式，得出\(f(x)\)的图像与\(x\)轴有两个交点的条件。
  • 通过解不等式，求出\(a\)的取值范围。

解题步骤：

  1. 根据二次函数的判别式，有\(\Delta=b^2-4ac\)，其中\(a=1, b=-2a, c=a^2\)。将\(a, b, c\)代入判别式，得\(\Delta=4a^2-4a^2=0\)。
  2. 因为\(f(x)\)的图像与\(x\)轴有两个交点，所以\(\Delta>0\)。因此，\(4a^2-4a^2>0\)，解得\(a\in(-\infty, +\infty)\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握二次函数的判别式和图像性质。
  • 善于运用不等式求解实数范围。

2. 难题二：几何问题

题目描述：在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(BC=8\)，\(AD\)是\(\triangle ABC\)的高，\(AD=6\)。求\(\triangle ABC\)的面积。

解题思路：

  • 利用等腰三角形的性质，求出\(AB\)和\(AC\)的长度。
  • 利用三角形面积公式，求出\(\triangle ABC\)的面积。

解题步骤：

  1. 因为\(AB=AC\)，所以\(\triangle ABC\)是等腰三角形。根据等腰三角形的性质，有\(AD\perp BC\)。
  2. 由勾股定理，得\(AD^2+BD^2=AB^2\)，即\(6^2+BD^2=AB^2\)。
  3. 因为\(BD=DC\)，所以\(BD=DC=\frac{1}{2}BC=4\)。
  4. 代入勾股定理，得\(6^2+4^2=AB^2\)，解得\(AB=2\sqrt{13}\)。
  5. 根据三角形面积公式，得\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=24\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理。
  • 善于运用三角形面积公式求解。

3. 难题三：概率问题

题目描述：袋中有5个红球，8个蓝球，从中随机取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率。

解题思路：

  • 利用组合数求解取出2个红球的方案数。
  • 利用组合数求解取出任意2个球的方案数。
  • 根据概率的定义，计算概率。

解题步骤：

  1. 从5个红球中取出2个球的方案数为\(C_5^2=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)。
  2. 从13个球中取出2个球的方案数为\(C_{13}^2=\frac{13\times12}{2\times1}=78\)。
  3. 取出的2个球都是红球的概率为\(\frac{C_5^2}{C_{13}^2}=\frac{10}{78}=\frac{5}{39}\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握组合数的计算方法。
  • 善于运用概率的定义求解概率问题。

总结

通过对2016年广东省中考数学难题的分析和解答，我们可以发现，解决这类问题需要具备扎实的数学基础和灵活的解题技巧。希望本文的解析能对读者在今后的学习和考试中有所帮助。