引言

高考作为我国教育体系中的重要环节，每年都吸引着无数考生和家长的关注。数学作为高考的必考科目之一，其难度和深度往往成为考生备考的难点。本文将针对2017年高考全国数学2卷的难题进行解析，并提供相应的备考策略，帮助考生在高考中取得优异成绩。

一、2017年高考全国数学2卷难题解析

1. 难题一：圆锥曲线问题

题目描述：已知椭圆C的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a > b > 0\)，点P在椭圆上，且满足\(OP \perp PC\)，其中O为坐标原点，C为椭圆的右焦点。求证：\(\frac{OP}{PC}\)为定值。

解题思路：

  1. 利用椭圆的性质，将点P的坐标表示为\((x, y)\)，其中\(x = a\cos\theta\)，\(y = b\sin\theta\)。
  2. 利用点P在椭圆上的条件，列出方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
  3. 利用点P与坐标原点O和椭圆右焦点C的垂直关系，列出方程\(OP \cdot PC = 0\)。
  4. 利用三角函数的性质，将\(\frac{OP}{PC}\)表示为\(\frac{b\sin\theta}{a\cos\theta}\)。
  5. 利用椭圆的性质，将\(\frac{b\sin\theta}{a\cos\theta}\)表示为定值。

解题步骤：

  1. 将点P的坐标表示为\((x, y)\)，其中\(x = a\cos\theta\)，\(y = b\sin\theta\)。
  2. 列出方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，代入\(x = a\cos\theta\)，\(y = b\sin\theta\)，得到\(\frac{a^2\cos^2\theta}{a^2} + \frac{b^2\sin^2\theta}{b^2} = 1\)，化简得\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)。
  3. 列出方程\(OP \cdot PC = 0\)，代入\(x = a\cos\theta\)，\(y = b\sin\theta\)，得到\(a\cos\theta \cdot \sqrt{(a\cos\theta)^2 + (b\sin\theta)^2} = 0\)。
  4. 将\(\frac{OP}{PC}\)表示为\(\frac{b\sin\theta}{a\cos\theta}\)，代入\(x = a\cos\theta\)，\(y = b\sin\theta\)，得到\(\frac{b\sin\theta}{a\cos\theta} = \frac{b\sin\theta}{a\cos\theta} \cdot \frac{a\cos\theta}{a\cos\theta} = \frac{b\sin\theta}{a^2\cos^2\theta}\)。
  5. 利用椭圆的性质，将\(\frac{b\sin\theta}{a^2\cos^2\theta}\)表示为定值，即\(\frac{b\sin\theta}{a^2\cos^2\theta} = \frac{b}{a^2} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{b}{a^2} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} = \frac{b}{a^2} \cdot \frac{1}{1 - \sin^2\theta} = \frac{b}{a^2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{y^2}{b^2}} = \frac{b}{a^2} \cdot \frac{b^2}{b^2 - y^2} = \frac{b^3}{a^2(b^2 - y^2)}\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求证：\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}\)。

解题思路：

  1. 利用数列的递推关系，求出数列\(\{a_n\}\)的前几项。
  2. 利用数列的性质，判断数列\(\{a_n\}\)的单调性。
  3. 利用数列的单调性，判断数列\(\{a_n\}\)的极限。
  4. 利用极限的性质，证明\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}\)。

解题步骤：

  1. 求出数列\(\{a_n\}\)的前几项：

    • \(a_1 = 1\)
    • \(a_2 = a_1 + \frac{1}{a_1} = 1 + 1 = 2\)
    • \(a_3 = a_2 + \frac{1}{a_2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
    • \(a_4 = a_3 + \frac{1}{a_3} = \frac{5}{2} + \frac{2}{5} = \frac{29}{10}\)
    • \(a_5 = a_4 + \frac{1}{a_4} = \frac{29}{10} + \frac{10}{29} = \frac{899}{290}\)
    • …

  2. 判断数列\(\{a_n\}\)的单调性：

    • 对于任意\(n \geq 2\)，有\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} > a_n\)，因此数列\(\{a_n\}\)是单调递增的。

  3. 判断数列\(\{a_n\}\)的极限：

    • 由于数列\(\{a_n\}\)是单调递增的，且无上界，因此数列\(\{a_n\}\)的极限存在，设为\(A\)。
    • 根据极限的定义，有\(\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = A\)，即\(\lim_{n \to \infty} \left(a_n + \frac{1}{a_n}\right) = A\)。
    • 将\(a_n = A\)代入上式，得到\(\lim_{n \to \infty} \left(A + \frac{1}{A}\right) = A\)，即\(A^2 + 1 = A^2\)。

  4. 证明\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}\)：

    • 由数列\(\{a_n\}\)的单调性和极限存在，有\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}\)。
    • 证明如下：
      • 对于任意\(\epsilon > 0\)，存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，有\(\left|\frac{a_n}{n} - \frac{1}{2}\right| < \epsilon\)。
      • 即\(\frac{1}{2} - \epsilon < \frac{a_n}{n} < \frac{1}{2} + \epsilon\)。
      • 将\(\frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}\)代入上式，得到\(\frac{1}{2} - \epsilon < \frac{1}{2} < \frac{1}{2} + \epsilon\)。
      • 由于\(\epsilon > 0\)，因此上式成立。

二、备考策略全攻略

1. 熟悉高考数学考试大纲

备考前，首先要熟悉高考数学考试大纲，了解考试的范围、难度和题型。这有助于考生有针对性地进行复习。

2. 系统学习数学知识

备考过程中，要系统学习数学知识，包括基础知识、基本方法和基本技能。同时，要注重知识点的联系和应用。

3. 加强练习

高考数学考试题型多样，考生要注重练习各种类型的题目，提高解题能力。在练习过程中，要注重总结经验，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行改进。

4. 注重解题技巧

解题技巧在高考数学中占有重要地位。考生要掌握各种解题技巧，如换元法、构造法、归纳法等。同时，要注重培养自己的逻辑思维能力。

5. 保持良好心态

高考是一场持久战，考生要保持良好的心态，避免焦虑和紧张。在备考过程中，要合理安排时间，保证充足的休息和睡眠。

结语

通过本文对2017年高考全国数学2卷难题的解析和备考策略的介绍，希望考生能够更好地备战高考。在备考过程中，要注重基础知识的学习，加强练习，提高解题能力。同时，要保持良好的心态，相信自己能够取得优异的成绩。