引言
高考数学作为衡量学生数学素养的重要标准，一直是考生和家长关注的焦点。本文将深入解析2017年高考数学中的难题，并分享一些解题技巧，帮助考生更好地应对高考数学的挑战。
一、2017年高考数学难题概述
2017年高考数学试卷在保持原有难度的基础上，增加了对考生逻辑思维、创新能力和实际应用能力的考察。以下是当年试卷中的一些典型难题：
- 圆锥曲线问题：涉及圆锥曲线的性质和方程，要求考生具备较强的代数运算能力和几何直观。
- 数列问题：考查数列的通项公式、求和公式以及数列极限的计算。
- 立体几何问题：侧重考查空间想象能力和几何构造能力。
- 概率统计问题：涉及随机事件、概率分布和统计量的计算。
二、解题技巧解析
1. 圆锥曲线问题
解题步骤：
- 理解题意：明确圆锥曲线的类型（椭圆、双曲线、抛物线），以及相关参数的含义。
- 列出方程：根据题意列出圆锥曲线的方程。
- 求解：运用代数运算、几何方法或数值方法求解。
例题：
已知椭圆 (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1) 的左焦点为 (F_1(-c, 0))，右焦点为 (F_2(c, 0))，点 (P(x, y)) 在椭圆上，且 (|PF_1| + |PF_2| = 2a)，求椭圆的离心率 (e)。
解答：
由椭圆的定义知，(|PF_1| + |PF_2| = 2a)，代入点 (P) 的坐标得：
[ \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a ]
平方两边，整理得：
[ 2x^2 + 2y^2 - 2a^2 = c^2 ]
由椭圆方程 (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1) 可得 (c^2 = a^2 - b^2)，代入上式得：
[ 2x^2 + 2y^2 - 2a^2 = a^2 - b^2 ]
整理得：
[ x^2 + y^2 = \frac{a^2 - b^2}{2} ]
因此，椭圆的离心率 (e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2})。
2. 数列问题
解题步骤：
- 理解题意：明确数列的类型（等差数列、等比数列、递推数列等）。
- 列出通项公式：根据题意列出数列的通项公式。
- 求解：运用数列的通项公式、求和公式或递推关系求解。
例题：
已知数列 ({a_n}) 的通项公式为 (a_n = 3^n - 2^n)，求前 (n) 项和 (S_n)。
解答：
数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和 (S_n) 可表示为：
[ S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n ]
代入通项公式得：
[ S_n = (3^1 - 2^1) + (3^2 - 2^2) + \ldots + (3^n - 2^n) ]
利用等比数列求和公式得：
[ S_n = \frac{3(3^n - 1)}{2} - \frac{2(2^n - 1)}{2} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+1} + 2}{2} = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1} - 1}{2} ]
3. 立体几何问题
解题步骤：
- 理解题意：明确几何体的形状、位置关系和参数。
- 构造辅助线：根据题意构造辅助线，将几何问题转化为平面几何问题。
- 求解：运用平面几何知识求解。
例题：
已知正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，(E) 为 (BC) 的中点，(F) 为 (A_1D_1) 的中点，求证：(EF) 平行于平面 (BCC_1B_1)。
解答：
连接 (A_1B) 和 (BC_1)，交于点 (G)，则 (G) 为 (A_1B) 和 (BC_1) 的中点。
由于 (A_1B \parallel BC_1)，且 (A_1B = BC_1)，所以 (A_1BG) 是平行四边形。
又因为 (E) 和 (F) 分别是 (BC) 和 (A_1D_1) 的中点，所以 (EF \parallel A_1G)。
又因为 (A_1G \parallel 平面 BCC_1B_1)，所以 (EF \parallel 平面 BCC_1B_1)。
4. 概率统计问题
解题步骤：
- 理解题意：明确随机事件的类型、概率分布和统计量的计算方法。
- 列出概率公式：根据题意列出相应的概率公式。
- 求解：运用概率公式和统计量计算方法求解。
例题：
设随机变量 (X) 服从正态分布 (N(0, 1))，求 (P(X \leq -1.96))。
解答：
由正态分布的性质知，(P(X \leq -1.96) = P\left(Z \leq \frac{-1.96 - 0}{1}\right))，其中 (Z) 为标准正态分布。
查标准正态分布表得 (P(Z \leq -1.96) = 0.0249)。
三、总结
本文对2017年高考数学中的难题进行了解析，并分享了一些解题技巧。通过学习和掌握这些技巧，考生可以在高考中更好地应对数学难题。