引言

高考数学作为衡量学生数学能力的重要标准，一直是考生和家长关注的焦点。本文将针对2017年高考数学二卷进行权威解析，并提供相应的解题技巧，帮助考生更好地理解和掌握高考数学的解题方法。

一、试卷概述

2017年高考数学二卷主要面向全国部分省份，试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等知识点。

二、选择题解析

1. 函数部分

  • 题目：已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，且过点\((1,2)\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
  • 解析：由于图像开口向上，可知\(a>0\)。将点\((1,2)\)代入函数，得到\(2=a+b+c\)。结合选项，可求出\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)。

2. 数列部分

  • 题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=3^n-2^n\)，求\(a_{10}\)的值。
  • 解析：将\(n=10\)代入通项公式，得到\(a_{10}=3^{10}-2^{10}\)。计算可得\(a_{10}=59049-1024=57925\)。

3. 立体几何部分

  • 题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求对角线\(AC_1\)的长度。
  • 解析：由勾股定理，\(AC_1=\sqrt{AB^2+BC^2+CC_1^2}=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\)。

4. 解析几何部分

  • 题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的焦点在\(x\)轴上，且\(a>b\)，求椭圆的离心率。
  • 解析：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。由于焦点在\(x\)轴上，\(c=a\)。代入公式，得到\(e=\frac{a}{a}=1\)。

5. 概率统计部分

  • 题目：从0到9这10个数字中随机抽取3个数字，求这三个数字互不相同的概率。
  • 解析：从10个数字中抽取3个数字，共有\(C_{10}^3\)种情况。其中，互不相同的组合有\(C_9^2\)种。因此，概率为\(\frac{C_9^2}{C_{10}^3}=\frac{9\times8}{10\times9\times8}=\frac{1}{10}\)。

三、填空题解析

1. 函数部分

  • 题目：若函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)在\(x=1\)处取得极值，求该极值。
  • 解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。由于\(f''(1)=2>0\)，故\(x=1\)为极小值点，极小值为\(f(1)=2\)。

2. 数列部分

  • 题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
  • 解析：由于\(2^n\)的增长速度远大于\(1\)，故\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)。

3. 立体几何部分

  • 题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求对角线\(BD_1\)的长度。
  • 解析：由勾股定理，\(BD_1=\sqrt{AB^2+AD^2+DD_1^2}=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\)。

4. 解析几何部分

  • 题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的焦点在\(x\)轴上，且\(a>b\)，求椭圆的焦距。
  • 解析：椭圆的焦距为\(2c\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。由于焦点在\(x\)轴上，\(c=a\)。代入公式，得到焦距为\(2a\)。

5. 概率统计部分

  • 题目：从0到9这10个数字中随机抽取3个数字，求这三个数字互不相同的概率。
  • 解析：从10个数字中抽取3个数字，共有\(C_{10}^3\)种情况。其中，互不相同的组合有\(C_9^2\)种。因此，概率为\(\frac{C_9^2}{C_{10}^3}=\frac{9\times8}{10\times9\times8}=\frac{1}{10}\)。

四、解答题解析

1. 函数部分

  • 题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)，求\(f(x)\)的单调区间和极值。
  • 解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。当\(x<\frac{2}{3}\)时，\(f'(x)>0\)，故\(f(x)\)在\((-\infty,\frac{2}{3})\)上单调递增；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，故\(f(x)\)在\((\frac{2}{3},1)\)上单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，故\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增。极小值为\(f(1)=2\)。

2. 数列部分

  • 题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
  • 解析：由于\(2^n\)的增长速度远大于\(1\)，故\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)。

3. 立体几何部分

  • 题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求对角线\(AC_1\)的长度。
  • 解析：由勾股定理，\(AC_1=\sqrt{AB^2+BC^2+CC_1^2}=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\)。

4. 解析几何部分

  • 题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的焦点在\(x\)轴上，且\(a>b\)，求椭圆的离心率。
  • 解析：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。由于焦点在\(x\)轴上，\(c=a\)。代入公式，得到\(e=\frac{a}{a}=1\)。

5. 概率统计部分

  • 题目：从0到9这10个数字中随机抽取3个数字，求这三个数字互不相同的概率。
  • 解析：从10个数字中抽取3个数字，共有\(C_{10}^3\)种情况。其中，互不相同的组合有\(C_9^2\)种。因此，概率为\(\frac{C_9^2}{C_{10}^3}=\frac{9\times8}{10\times9\times8}=\frac{1}{10}\)。

五、总结

通过对2017年高考数学二卷的权威解析和解题技巧的介绍，相信考生能够更好地掌握高考数学的解题方法。在备考过程中，考生应注重基础知识的学习，加强练习，提高解题能力。