揭秘2017高考数学全国卷：难题解析与备考策略揭秘

一、2017高考数学全国卷概述

2017年高考数学全国卷主要包括文科数学和理科数学两部分，试卷内容涵盖了解析几何、代数、立体几何、概率统计等基础知识，以及综合应用题。本文将对2017年高考数学全国卷的难题进行解析，并给出相应的备考策略。

二、难题解析

1. 理科数学

（1）解析几何

例题：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），直线\(l\)过点\(P(2,1)\)，且与椭圆相切，求切线\(l\)的斜率\(k\)。

解析：首先，由椭圆的标准方程可得\(\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1\)。设直线\(l\)的方程为\(y - 1 = k(x - 2)\)，即\(kx - y + 1 - 2k = 0\)。由点到直线的距离公式，可得\(\frac{|2k - 1 + 1 - 2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{a}{c}\)。结合椭圆的性质，解得\(k = \pm\sqrt{2}\)。

（2）代数

例题：设实数\(x, y, z\)满足\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)，\(x + y + z = 0\)，求\(xyz\)的最大值。

解析：由柯西不等式可得\((x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)\)，即\(0 \leq 3\)。又因为\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)，所以\(xyz \leq \frac{1}{3}\)。当\(x = y = z = \frac{1}{\sqrt{3}}\)时，等号成立，此时\(xyz\)的最大值为\(\frac{1}{3}\)。

（3）立体几何

例题：正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，\(F\)为\(BC\)的中点，\(G\)为\(AD_1\)的中点，求异面直线\(EF\)与\(CG\)的公垂线方程。

解析：以\(D\)为原点，\(DA\)为\(x\)轴，\(DC\)为\(y\)轴，\(DD_1\)为\(z\)轴建立空间直角坐标系。设\(D(0,0,0)\)，\(A(1,0,0)\)，\(B(1,1,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(D_1(0,0,1)\)。则\(E(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})\)，\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\)，\(G(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)。设异面直线\(EF\)与\(CG\)的公垂线方程为\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)。代入点\(E\)、\(F\)、\(G\)的坐标，解得公垂线方程为\(\frac{2x}{3} + \frac{2y}{3} + z = 1\)。

2. 文科数学

（1）解析几何

例题：已知圆\(x^2 + y^2 = 1\)，直线\(l\)过点\(P(1,0)\)，且与圆相切，求切线\(l\)的方程。

解析：设切线\(l\)的方程为\(y = k(x - 1)\)。由点到直线的距离公式，可得\(\frac{|k - 0|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1\)。解得\(k = \pm\sqrt{2}\)。因此，切线\(l\)的方程为\(y = \pm\sqrt{2}(x - 1)\)。

（2）代数

例题：设实数\(a, b, c\)满足\(a^2 + b^2 + c^2 = 3\)，\(ab + bc + ca = 0\)，求\(abc\)的最小值。

解析：由柯西不等式可得\((a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (ab + bc + ca)^2\)，即\(3 \cdot 3 \geq 0\)。又因为\(ab + bc + ca = 0\)，所以\(abc \geq 0\)。当\(a = b = c = 1\)时，等号成立，此时\(abc\)的最小值为\(0\)。

（3）立体几何

例题：正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，\(F\)为\(BC\)的中点，\(G\)为\(AD_1\)的中点，求异面直线\(EF\)与\(CG\)的公垂线方程。

三、备考策略

1. 加强基础知识的学习

对于高考数学来说，基础知识是解题的基石。考生需要加强对解析几何、代数、立体几何、概率统计等基础知识的掌握，注重理解概念、公式、定理等，并能够灵活运用。

2. 提高解题技巧

考生在备考过程中，要注重培养解题技巧。对于解析几何，要学会利用解析法解题，如点到直线的距离公式、点到椭圆的距离公式等；对于代数，要学会利用柯西不等式、均值不等式等工具解题；对于立体几何，要学会利用空间直角坐标系、向量法等解题。

3. 做好真题训练

考生可以通过做真题来提高自己的应试能力。在训练过程中，要注意分析题目类型、解题思路，总结解题方法，提高解题速度和准确率。

4. 注重错题总结

考生在做题过程中，要注重对错题的总结和分析。通过分析错题，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行复习和巩固。