引言
2017年静安二模数学试卷中的难题一直是考生和家长关注的焦点。本文将深入解析这些难题，并提供相应的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握数学解题方法。
一、难题解析
难题一：函数问题
题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求证：对于任意实数\(x\)，\(f(x) > 0\)。
解析：
- 首先对函数求导，得到\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
- 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)或\(x = \frac{2}{3}\)。
- 分析函数的单调性，当\(x < \frac{2}{3}\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当\(\frac{2}{3} < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。
- 由此可知，\(f(x)\)在\(x = \frac{2}{3}\)处取得极大值，在\(x = 1\)处取得极小值。
- 计算得到\(f(\frac{2}{3}) = \frac{19}{27}\)，\(f(1) = 3\)，因此\(f(x) > 0\)。
难题二：数列问题
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - 2\)，求证：\(\{a_n\}\)是单调递增的。
解析：
- 首先证明\(a_2 > a_1\)，即\(1^2 - 2 > 1\)，显然成立。
- 假设对于某个正整数\(k\)，\(a_k > a_{k-1}\)成立，则\(a_{k+1} = a_k^2 - 2 > a_{k-1}^2 - 2 = a_k\)。
- 由此可知，\(\{a_n\}\)是单调递增的。
二、解题技巧
解题技巧一：函数问题
- 对函数求导，分析单调性和极值。
- 根据单调性和极值，判断函数的符号。
解题技巧二：数列问题
- 利用数学归纳法证明数列的性质。
- 注意到数列的递推关系，寻找规律。
三、总结
本文通过解析2017静安二模数学试卷中的难题，为读者提供了相应的解题技巧。希望这些技巧能够帮助读者在数学学习中取得更好的成绩。