引言

军考数学作为选拔军官的重要环节，对考生的数学能力提出了较高要求。2017年的军考数学试卷中，不乏一些难题，让许多考生感到棘手。本文将针对这些难题，提供详细的解题思路和答案，帮助考生更好地应对类似的考试挑战。

一、2017军考数学难题解析

难题一：函数问题

题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求函数在区间\([0,2]\)上的最大值和最小值。

解题步骤：

  1. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
  2. 求导数的零点：\(3x^2 - 6x + 4 = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = \frac{2}{3}\)。
  3. 求二阶导数：\(f''(x) = 6x - 6\)。
  4. 判断极值：\(f''(1) = 0\)，\(f''(\frac{2}{3}) = -2\)，故\(x_1 = 1\)为极大值点，\(x_2 = \frac{2}{3}\)为极小值点。
  5. 计算极值：\(f(1) = 3\)，\(f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{27}\)。
  6. 比较端点值：\(f(0) = 1\)，\(f(2) = 3\)。

答案：函数在区间\([0,2]\)上的最大值为\(3\)，最小值为\(\frac{1}{27}\)。

难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = n^3 - 3n^2 + 2n\)，求前\(n\)项和\(S_n\)。

解题步骤：

  1. 求前\(n\)项和的通项公式：\(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)。
  2. 将通项公式代入：\(S_n = (1^3 - 3 \times 1^2 + 2 \times 1) + (2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2) + \ldots + (n^3 - 3 \times n^2 + 2 \times n)\)。
  3. 拆分求和：\(S_n = (1^3 + 2^3 + \ldots + n^3) - 3(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2) + 2(1 + 2 + \ldots + n)\)。
  4. 利用求和公式：\(S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 3 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \times \frac{n(n+1)}{2}\)。
  5. 化简得：\(S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)\)。

答案：前\(n\)项和\(S_n\)的表达式为\(\frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)\)。

难题三：概率问题

题目描述：袋中有5个红球，3个蓝球，2个白球，从中随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。

解题步骤：

  1. 计算基本事件总数：\(C_10^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120\)。
  2. 计算满足条件的基本事件个数：\(C_5^2 \times C_3^1 = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} = 30\)。
  3. 计算概率：\(P = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}\)。

答案：取出2个红球和1个蓝球的概率为\(\frac{1}{4}\)。

总结

通过对2017年军考数学难题的解析，我们可以发现，掌握正确的解题方法和技巧对于解决这类问题至关重要。希望本文的解析能够帮助考生在未来的考试中取得优异成绩。