揭秘2017兰州诊断考试：数学难题解析与备考攻略

一、考试概述

2017年兰州诊断考试是中国高等教育自学考试（简称自学考试）的重要组成部分，该考试旨在选拔优秀的学生进入高等教育自学考试体系。数学作为考试科目之一，历来备受考生关注。本文将针对2017年兰州诊断考试中的数学难题进行解析，并给出相应的备考攻略。

题目回顾：设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+2\)，求\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^2}\)。

解题思路：

首先观察分子和分母的最高次项，可以发现分母的最高次项为\(x^2\)，而分子最高次项为\(x^3\)。
接着，将分子和分母同时除以\(x^2\)，得到\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3-3x^2+4x+2}{x^2}\)。
然后，根据极限的性质，可以将分子中的\(x^3\)和\(x^2\)的系数分别除以\(x^2\)，得到\(\lim_{x\rightarrow \infty} (x-3+\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2})\)。
最后，当\(x\)趋向于无穷大时，\(\frac{4}{x}\)和\(\frac{2}{x^2}\)均趋向于0，因此得到极限值为\(x-3\)。

答案：\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^2}=x-3\)。

题目回顾：设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}\)。

解题思路：

首先观察数列的递推关系，可以发现\(a_n\)与\(a_{n-1}\)的关系为\(a_n=2a_{n-1}+1\)。
接着，利用递推关系，可以将\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}\)展开为\(\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+\cdots\)。
然后，将\(a_n=2a_{n-1}+1\)代入上式，得到\(\frac{1}{2}+\frac{2a_1+1}{2^2}+\frac{2a_2+1}{2^3}+\cdots\)。
最后，通过观察可以发现，每一项都可以表示为\(\frac{a_n}{2^n}\)的形式，因此得到\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots\)，即\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1\)。

答案：\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}=1\)。