引言

南通三模卷作为我国中学数学竞赛的重要参考之一，每年都会吸引众多学生的关注。2017年的南通三模卷更是以其难度和深度著称。本文将针对其中几道数学难题进行详细解析，并提供相应的解题技巧。

一、难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目描述： 设函数\(f(x)=x^3-3ax^2+3bx-c\)，其中\(a\)，\(b\)，\(c\)为常数。若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。

解题思路：

  1. 求导数\(f'(x)=3x^2-6ax+3b\)；
  2. 令\(f'(1)=0\)，解得\(a=1\)；
  3. 求二阶导数\(f''(x)=6x-6a\)，代入\(x=1\)，解得\(b=1\)；
  4. 求三阶导数\(f'''(x)=6\)，代入\(x=1\)，解得\(c=0\)。

答案： \(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)。

2. 难题二：数列与不等式

题目描述： 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\)，证明：对任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，都有\(a_n>1\)。

解题思路：

  1. 证明\(a_2=1^2-1+1=1>1\)；
  2. 假设对某个\(k\in\mathbb{N}^*\)，有\(a_k>1\)；
  3. 证明\(a_{k+1}=a_k^2-a_k+1>1\)；
  4. 由数学归纳法，对任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，都有\(a_n>1\)。

答案： 对任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，都有\(a_n>1\)。

3. 难题三：平面几何与三角函数

题目描述： 在平面直角坐标系中，已知点\(A(0,1)\)，\(B(1,0)\)，\(C(2,0)\)，求\(\triangle ABC\)的外接圆方程。

解题思路：

  1. 求直线\(AB\)，\(BC\)，\(AC\)的斜率；
  2. 求直线\(AB\)，\(BC\)，\(AC\)的垂线方程；
  3. 求垂线交点，即为外接圆圆心；
  4. 求外接圆半径；
  5. 写出外接圆方程。

答案： 外接圆方程为\((x-1)^2+(y-1)^2=2\)。

二、解题技巧

  1. 审题：仔细阅读题目，明确题目的条件和要求；
  2. 分类讨论：对于多解问题，要分类讨论，避免漏解；
  3. 归纳推理：对于证明题，可以尝试归纳推理，逐步缩小范围；
  4. 数形结合：将数学问题与几何图形相结合，有助于解题；
  5. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，降低解题难度。

结语

通过对2017南通三模卷中几道数学难题的解析，我们不仅掌握了相应的解题技巧，还提高了自己的数学思维能力。希望本文能对广大中学生有所帮助。