揭秘2017年高考丙卷数学：难题解析与备考策略大揭秘

引言

高考作为我国重要的选拔性考试，其数学试卷一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考丙卷数学试卷中，不乏一些颇具挑战性的难题。本文将深入解析这些难题，并为您提供有效的备考策略。

一、难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一个焦点为 \(F(0, c)\)，点 \(P(x, y)\) 在椭圆上，且 \(\angle FPA = 90^\circ\)，其中 \(A\) 为椭圆的右顶点。求证：\(PF^2 = 2a^2\)。

解析：

首先，根据椭圆的定义，可以得到 \(c^2 = a^2 - b^2\)。
由题意，\(\angle FPA = 90^\circ\)，可得 \(PF^2 + PA^2 = AF^2\)。
利用椭圆的性质，可以得到 \(AF = a\)，\(PA = b\)。
将 \(AF\)、\(PA\) 和 \(PF^2\) 的表达式代入 \(PF^2 + PA^2 = AF^2\)，化简得 \(PF^2 = 2a^2\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{a_n}{1 - \frac{1}{a_n}}\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

解析：

首先，将递推关系式进行变形，得到 \(a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n - 1}\)。
对数列 \(\{a_n\}\) 进行放缩，可得 \(a_n > 1\)。
利用放缩法，得到 \(\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{a_n^2}{a_n - 1} \cdot \frac{a_{n-1} - 1}{a_{n-1}^2} = \frac{a_n^2 - a_n}{a_n - 1} \cdot \frac{1}{a_{n-1}^2 - a_{n-1}}\)。
对 \(\frac{a_n^2 - a_n}{a_n - 1}\) 和 \(\frac{1}{a_{n-1}^2 - a_{n-1}}\) 进行放缩，可得 \(\frac{a_n}{a_{n-1}} \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)\)。
由夹逼准则，得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = 1\)。

3. 难题三：立体几何问题

题目描述：已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，点 \(P\) 在平面 \(A_1B_1C_1D_1\) 上，且 \(P\) 到 \(A_1B_1\)、\(A_1C_1\)、\(B_1C_1\) 的距离均为 \(1\)。求 \(P\) 到 \(AB\)、\(AC\)、\(AD\) 的距离之和。

解析：

首先，设 \(P\) 到 \(AB\)、\(AC\)、\(AD\) 的距离分别为 \(x\)、\(y\)、\(z\)。
由题意，\(x^2 + y^2 + z^2 = 2\)。
设 \(P\) 到 \(A_1B_1\)、\(A_1C_1\)、\(B_1C_1\) 的距离分别为 \(u\)、\(v\)、\(w\)，则 \(u^2 + v^2 + w^2 = 3\)。
利用柯西不等式，得到 \((x^2 + y^2 + z^2)(u^2 + v^2 + w^2) \geq (xu + yv + zw)^2\)。
代入已知条件，可得 \(2 \times 3 \geq (xu + yv + zw)^2\)，即 \(6 \geq (xu + yv + zw)^2\)。
由均值不等式，得到 \(xu + yv + zw \leq \sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)} = \sqrt{6}\)。
当 \(x = y = z = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 时，取等号，此时 \(P\) 到 \(AB\)、\(AC\)、\(AD\) 的距离之和为 \(\sqrt{6}\)。

二、备考策略

1. 深入理解基本概念

复习高中数学基础知识，如函数、数列、几何等。
理解各个知识点之间的联系，形成完整的知识体系。

2. 加强练习

做历年高考数学试卷，尤其是丙卷，总结解题方法和技巧。
分析错题，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行训练。

3. 培养逻辑思维能力

多做逻辑推理题，提高自己的逻辑思维能力。
学会从多个角度分析问题，寻找解题思路。

4. 保持良好的心态

考试前保持充足的睡眠，调整好心态。
遇到难题时，不要慌乱，冷静思考，寻找解题方法。