引言

高考数学作为衡量学生数学能力的重要手段，一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考数学1卷中，既有常规题型，也有颇具难度的题目。本文将深入解析这些难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的考试中取得优异成绩。

一、难题解析

1. 难题一：函数与导数的综合应用

题目回顾

已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求\(f'(x)\)，并求\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的极值。

解题思路

首先，根据导数的定义求出\(f'(x)\)，然后通过判断导数的符号变化来确定\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的单调性，最后求出极值。

解题步骤

  1. 求导：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
  2. 判断单调性：令\(f'(x) = 0\)，得\(x = 0\)或\(x = 2\)。在区间\([0,2]\)上，当\(x \in (0,2)\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当\(x = 0\)或\(x = 2\)时，\(f'(x) = 0\)，函数取得极值。
  3. 求极值：\(f(0) = 4\)，\(f(2) = 0\)，所以\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的极大值为\(4\)，极小值为\(0\)。

2. 难题二：数列与不等式的综合应用

题目回顾

已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = n^2 - n\)，且\(a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} = 55\)，求\(a_5\)。

解题思路

首先，根据数列的通项公式和求和公式，建立方程求解。

解题步骤

  1. 求和：\(a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} = 1^2 - 1 + 2^2 - 2 + \ldots + 10^2 - 10 = 55\)。
  2. 化简方程：\(1 + 4 + \ldots + 100 - 10 = 55\)。
  3. 求解方程：\(S_1 + S_2 - 10 = 55\)，其中\(S_1\)表示前10个奇数的和，\(S_2\)表示前10个偶数的和。
  4. 计算\(S_1\)和\(S_2\)：\(S_1 = 1 + 3 + \ldots + 19 = 10 \times \frac{1 + 19}{2} = 100\)，\(S_2 = 2 + 4 + \ldots + 20 = 10 \times \frac{2 + 20}{2} = 110\)。
  5. 求解\(a_5\)：\(100 + 110 - 10 = 55\)，\(a_5 = 5^2 - 5 = 20\)。

3. 难题三：立体几何与解析几何的综合应用

题目回顾

已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(a\)，点\(E\)在\(A_1B_1\)上，\(EF\)垂直于\(B_1C_1\)，且\(EF = \sqrt{2}a\)，求\(E\)到平面\(ABCD\)的距离。

解题思路

首先，根据已知条件建立空间直角坐标系，然后利用解析几何的方法求解。

解题步骤

  1. 建立坐标系：以\(D\)为原点，\(DA\)为\(x\)轴，\(DC\)为\(y\)轴，\(DD_1\)为\(z\)轴。
  2. 确定各点坐标：\(D(0,0,0)\)，\(A(a,0,0)\)，\(B(a,a,0)\)，\(C(0,a,0)\)，\(A_1(a,0,a)\)，\(B_1(a,a,a)\)，\(C_1(0,a,a)\)。
  3. 确定向量：\(\overrightarrow{DA_1} = (a,0,a)\)，\(\overrightarrow{DB_1} = (a,a,a)\)，\(\overrightarrow{DC_1} = (0,a,a)\)。
  4. 求解\(\overrightarrow{EF}\)：由于\(EF\)垂直于\(B_1C_1\)，\(\overrightarrow{EF}\)与\(\overrightarrow{DB_1}\)垂直，所以\(\overrightarrow{EF} = \lambda \overrightarrow{DB_1} = \lambda(a,a,a)\)，其中\(\lambda\)为待求系数。
  5. 利用向量模长公式求解\(\lambda\)：\(|\overrightarrow{EF}| = \sqrt{2}a = \sqrt{\lambda^2(a^2 + a^2 + a^2)} = \sqrt{3}\lambda a\)，解得\(\lambda = \frac{\sqrt{6}}{3}\)。
  6. 求解\(\overrightarrow{DE}\)：\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA_1} - \lambda \overrightarrow{DB_1} = (a,0,a) - \frac{\sqrt{6}}{3}(a,a,a) = \left(\frac{3\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3}a, -\frac{\sqrt{6}}{3}a, \frac{\sqrt{6}}{3}a\right)\)。
  7. 求解\(E\)到平面\(ABCD\)的距离：\(d = \frac{|\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{DC}|} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}a^2}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}a\)。

二、备考策略

1. 理解基本概念和定理

在备考过程中，首先要掌握数学的基本概念和定理，这是解题的基础。

2. 练习解题技巧

针对不同类型的题目，掌握相应的解题技巧，如代数、几何、数列等。

3. 分析历年真题

通过分析历年真题，了解高考数学的命题趋势和题型特点。

4. 合理安排学习时间

在备考过程中，要合理分配时间，避免临时抱佛脚。

5. 做好心理调适

保持良好的心态，有助于提高解题效率。

总之，通过深入了解高考数学的命题规律，掌握解题技巧，合理安排学习时间，做好心理调适，相信每位考生都能在高考数学考试中取得优异的成绩。