揭秘2017年高考数学全国卷丙：难题解析与备考策略

引言

高考数学作为高考的重要组成部分，一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考数学全国卷丙卷中，出现了多道难题，对考生的逻辑思维和解题技巧提出了更高的要求。本文将针对这些难题进行解析，并给出相应的备考策略。

难题解析

难题一：圆锥曲线问题

题目回顾：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的右焦点为 \(F\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(\angle POF = 45^\circ\)，其中 \(O\) 为原点。求 \(\frac{b^2}{a^2}\) 的值。

解题思路：

利用椭圆的定义和性质，建立方程组；
利用几何关系，求出 \(PF\) 的长度；
结合 \(\angle POF = 45^\circ\)，利用三角函数求解。

解题步骤：

根据椭圆的定义，有 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)；
由于 \(F\) 为椭圆的右焦点，故 \(F(ae, 0)\)，其中 \(e\) 为椭圆的离心率；
由 \(\angle POF = 45^\circ\)，可得 \(PF = OF = ae\)；
根据椭圆的性质，有 \(PF^2 = a^2 - b^2\)；
代入 \(PF = ae\)，得 \(a^2e^2 = a^2 - b^2\)；
解得 \(\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2\)。

难题二：数列问题

题目回顾：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 2}\)。求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}\)。

解题思路：

利用数列的递推关系，求出数列的前几项；
观察数列的变化规律，判断数列的极限是否存在；
利用夹逼准则，求出数列的极限。

解题步骤：

根据递推关系，得 \(a_2 = \sqrt{1^2 + 2} = \sqrt{3}\)；
同理，可得 \(a_3 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2} = \sqrt{5}\)；
观察数列的前几项，发现数列单调递增，且 \(a_n > 0\)；
设 \(L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}\)，则有 \(L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n^2 + 2}}{n}\)；
对分子有理化，得 \(L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n^2 + 2}}{n} \cdot \frac{\sqrt{a_n^2 + 2}}{\sqrt{a_n^2 + 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2 + 2}{n^2 + 2\sqrt{a_n^2 + 2}n}\)；
由于 \(a_n^2 + 2 \geq 2\)，故 \(L \geq \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2 + 2\sqrt{a_n^2 + 2}n} = 0\)；
又因为 \(a_n^2 + 2 \leq a_n^2 + 2a_n^2 = 3a_n^2\)，故 \(L \leq \lim_{n \to \infty} \frac{3a_n^2}{n^2 + 2\sqrt{a_n^2 + 2}n} = 3\)；
由夹逼准则，得 \(L = 0\)。

备考策略

提高数学思维能力

多做数学题，尤其是历年高考题；
学会总结归纳，形成自己的解题思路；
注重数学思维的培养，提高逻辑推理能力。

加强基础知识

系统学习数学基础知识，包括代数、几何、三角等；
熟练掌握各种公式、定理和性质；
注重基础知识的灵活运用。

做好时间管理

合理安排学习时间，保证充足的睡眠；
在做模拟题时，注意时间分配，提高解题速度；
考试前做好心理准备，保持良好的心态。