揭秘2017年青海高考数学卷：难题解析与备考策略全解析

一、2017年青海高考数学试卷概述

2017年青海高考数学试卷分为文科和理科两部分，共分为选择题、填空题和解答题三个部分。试卷内容涵盖了函数、三角、数列、立体几何、解析几何、概率统计等数学基础知识和应用题。试卷难度适中，但部分题目具有一定的挑战性。

二、难题解析

1. 文科数学难题解析

（1）选择题

题目：已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)的图像与\(x\)轴的交点为\(A\)、\(B\)，若\(\triangle AOB\)（\(O\)为原点）的周长为\(12\)，面积为\(9\)，则\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)的值为______。

解析：由题意，设\(A(x_1,0)\)，\(B(x_2,0)\)，则\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。由三角形周长和面积公式可得：

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = 12 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x_1^2 + x_2^2} \cdot |x_1 - x_2| = 9 \end{cases} \]

解得\(x_1^2 + x_2^2 = 36\)，代入\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)得\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{3}\)。

（2）填空题

题目：设\(a>0\)，\(b>0\)，\(x>0\)，若\(\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{b}{x+2}=3\)，则\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+2)^2}\)的最大值为______。

解析：由柯西不等式得：

\[ \left(\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{b}{x+2}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}\right) \geq (1+1+1)^2 \]

代入已知条件，得：

\[ \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}\right) \geq 3 \]

又因为\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x(x+1)(x+2)}\)，当\(x=1\)时，取到最大值\(2\)。

（3）解答题

题目：已知函数\(f(x)=\frac{x^3-3x^2-4x+6}{x^2+1}\)，求\(f(x)\)的单调区间。

解析：求导得\(f'(x)=\frac{2x^4+4x^3-6x^2-2x}{(x^2+1)^2}\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)，\(x=-1\)，\(x=\frac{1}{2}\)。根据\(f'(x)\)的符号变化，可得到\(f(x)\)的单调区间为：\((-\infty,-1)\)，\((-1,0)\)，\((0,\frac{1}{2})\)，\((\frac{1}{2},+\infty)\)。

2. 理科数学难题解析

（1）选择题

题目：已知函数\(f(x)=\sin x + \cos x\)的图像与直线\(y=kx\)相交于点\(A\)、\(B\)，若\(AB=2\sqrt{2}\)，则\(k\)的值为______。

解析：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=0\)，\(x_1x_2=-2\)。由韦达定理得：

\[ \begin{cases} y_1+y_2=k(x_1+x_2)=0 \\ y_1y_2=k^2(x_1x_2)=-2k^2 \end{cases} \]

代入\(AB=2\sqrt{2}\)，得\(|y_1-y_2|=2\sqrt{2}\)。由点到直线的距离公式，得：

\[ \frac{|k^2+2|}{\sqrt{k^2+1}}=2\sqrt{2} \]

解得\(k=\pm 1\)。

（2）填空题

题目：设\(a>0\)，\(b>0\)，\(x>0\)，若\(\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{b}{x+2}=3\)，则\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+2)^2}\)的最大值为______。

解析：与文科数学题目解析相同，最大值为\(2\)。

（3）解答题

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2-4x+6\)的图像与\(x\)轴的交点为\(A\)、\(B\)、\(C\)，若\(A\)、\(B\)、\(C\)三点构成的三角形面积为\(S\)，求\(S\)的取值范围。

解析：设\(A(x_1,0)\)，\(B(x_2,0)\)，\(C(x_3,0)\)，则\(x_1+x_2+x_3=3\)，\(x_1x_2x_3=-6\)。由海伦公式可得：

\[ S=\sqrt{p(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)} \]

其中\(p=\frac{x_1+x_2+x_3}{2}=\frac{3}{2}\)。代入\(p\)和\(x_1x_2x_3\)，得\(S\)的取值范围为\((0,2\sqrt{3}]\)。

三、备考策略

掌握基础知识：认真复习教材，熟悉各个数学知识点，做到心中有数。
强化训练：多做真题、模拟题，熟悉考试题型和难度，提高解题速度和准确率。
总结归纳：对已做过的题目进行总结归纳，分析错误原因，查漏补缺。
注重解题技巧：掌握常用的解题方法和技巧，提高解题效率。
调整心态：保持良好的心态，避免考试焦虑。