一、概述
2017年全国二卷数学理试卷涵盖了高中数学的多个重要知识点，包括函数、数列、概率统计、立体几何、解析几何等。本文将详细解析试卷中的典型题目，并提供解题思路和技巧。
二、函数与导数
1. 题目类型
函数与导数部分主要考察了函数的单调性、极值、导数的应用等知识点。
2. 解题技巧
- 解析法：对于函数单调性、极值等问题，可以通过求导数来判断。
- 图像法：利用函数图像分析函数的性质。
3. 典型题目解析
例题：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求\(f(x)\)的极值。
解题步骤：
- 求\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
- 令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。
- 分析\(f'(x)\)的符号，确定\(x=1\)时为极大值，\(x=\frac{2}{3}\)时为极小值。
- 计算极值：\(f(1)=1\)，\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{27}\)。
三、数列
1. 题目类型
数列部分主要考察了等差数列、等比数列、数列的求和等知识点。
2. 解题技巧
- 公式法：利用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式。
- 递推法：通过递推关系求出数列的通项公式。
3. 典型题目解析
例题：已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项为2，公差为3，求第10项。
解题步骤：
- 利用等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)。
- 代入\(a_1=2\)，\(d=3\)，\(n=10\)，得\(a_{10}=2+9\times3=29\)。
四、概率统计
1. 题目类型
概率统计部分主要考察了概率、随机变量、统计量等知识点。
2. 解题技巧
- 概率法：利用概率公式计算随机事件发生的概率。
- 统计法：利用统计量描述数据的分布特征。
3. 典型题目解析
例题：袋中有5个红球、3个蓝球、2个绿球，从中随机抽取3个球，求抽到至少一个红球的概率。
解题步骤：
- 计算抽到3个红球的概率：\(P_1=\frac{C_5^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{6}\)。
- 计算抽到2个红球和1个蓝球的概率：\(P_2=\frac{C_5^2C_3^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{2}\)。
- 计算抽到2个红球和1个绿球的概率：\(P_3=\frac{C_5^2C_2^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{6}\)。
- 计算至少抽到1个红球的概率：\(P=P_1+P_2+P_3=\frac{2}{3}\)。
五、立体几何
1. 题目类型
立体几何部分主要考察了空间几何体的性质、体积、表面积等知识点。
2. 解题技巧
- 几何法：利用空间几何体的性质和关系进行求解。
- 向量法：利用向量运算解决空间几何问题。
3. 典型题目解析
例题：已知长方体\(ABCD-AB_1C_1D_1\)的棱长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，求长方体的表面积。
解题步骤：
- 长方体的表面积由六个矩形组成，其中\(ABCD\)和\(AB_1C_1D_1\)的面积分别为\(ab\)和\(ab\)，\(ABB_1A_1\)、\(BCC_1B_1\)、\(CDD_1C_1\)的面积分别为\(bc\)、\(bc\)、\(ac\)。
- 计算表面积：\(S=2(ab+bc+ac)\)。
六、解析几何
1. 题目类型
解析几何部分主要考察了直线、圆、圆锥曲线的性质和方程。
2. 解题技巧
- 解析法：利用直线、圆、圆锥曲线的方程和性质进行求解。
- 代数法：利用代数方法解决解析几何问题。
3. 典型题目解析
例题：已知圆的方程\(x^2+y^2=1\)，直线\(y=kx+b\)与圆相交，求\(k\)和\(b\)的取值范围。
解题步骤：
- 将直线方程代入圆的方程，得\((kx+b)^2+x^2=1\)。
- 化简得\((k^2+1)x^2+2kbx+(b^2-1)=0\)。
- 根据韦达定理，\(\Delta=4k^2b^2-4(k^2+1)(b^2-1)=0\)。
- 解得\(b^2=\frac{4}{4k^2+1}\)，\(k^2=\frac{1}{4b^2-1}\)。
- 分析\(k\)和\(b\)的取值范围，得\(k^2<\frac{1}{4}\)，\(b^2>\frac{1}{4}\)。
七、总结
通过对2017年全国二卷数学理试卷的解析，我们了解了该试卷的题型和考察重点。掌握相应的解题技巧，有助于提高数学成绩。希望本文能对广大考生有所帮助。