引言

2017年数学高考全国一试卷以其难度和深度著称，吸引了广大考生和教师的关注。本文将深入解析2017年数学高考全国一试卷中的难题，并针对这些难题提供备考攻略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目回顾：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。

解题思路：

  • 首先求出\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。
  • 计算\(f'(1)\)，得到切线的斜率。
  • 利用点斜式求出切线方程。

解题步骤：

def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 2*x + 1

def f_prime(x):
    return 3*x**2 - 6*x + 2

x = 1
slope = f_prime(x)
y_intercept = f(x) - slope*x
tangent_line = f_prime(x), y_intercept
tangent_line

2. 难题二：数列与极限

题目回顾：已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 2}\)，求\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}\)。

解题思路：

  • 利用数学归纳法证明数列\(\{a_n\}\)单调递增且有界。
  • 通过夹逼准则求出极限。

解题步骤：

def a_n(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return (a_n(n-1)**2 + 2)**0.5

def limit_a_n(n):
    return a_n(n) / n

# 计算前几项
for i in range(1, 11):
    print(f"a_{i} = {a_n(i)}")

# 计算极限
from sympy import limit, oo
limit(limit_a_n(n), n, oo)

3. 难题三：解析几何

题目回顾：已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，直线\(l: y = kx + b\)与椭圆相切，求\(k\)和\(b\)的值。

解题思路：

  • 将直线方程代入椭圆方程，得到关于\(x\)的二次方程。
  • 根据判别式等于零求出\(k\)和\(b\)。

解题步骤：

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y, k, b = symbols('x y k b')
ellipse_eq = Eq(x**2/4 + y**2/3, 1)
line_eq = Eq(y, k*x + b)

# 将直线方程代入椭圆方程
combined_eq = ellipse_eq.subs(y, k*x + b)

# 求解二次方程
solution = solve(combined_eq, x)
discriminant = solution[0].as_poly().discriminant()
k_value = solve(Eq(discriminant, 0), k)
b_value = solve(Eq(combined_eq.subs(x, 0), 0), b)
k_value, b_value

二、备考攻略

1. 系统学习

  • 确保对高中数学的各个知识点有全面、深入的理解。
  • 重点掌握函数、数列、解析几何等核心概念和公式。

2. 做题练习

  • 多做历年高考真题和模拟题，熟悉高考题型和难度。
  • 分析解题思路，总结解题技巧。

3. 时间管理

  • 合理安排学习时间，保证充足的休息和复习时间。
  • 在考试前进行模拟考试，提高应试能力。

4. 心理调适

  • 保持积极的心态，克服焦虑和紧张情绪。
  • 学会放松，调整呼吸，保持冷静。

通过以上解析和攻略，相信考生们能够在未来的高考中取得优异的成绩。