一、考试概述

2017年云南高考数学考试分为文科综合和理科综合两部分，试卷分为选择题和非选择题。本文将针对理科综合部分的数学真题进行详细解析，帮助考生把握考试难点，提高解题能力。

二、选择题解析

1. 单项选择题

例题：函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的图象开口向上，且与\(x\)轴的两个交点分别为\((1,0)\)和\((3,0)\)，则下列说法正确的是：

A. \(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)

B. \(a>0\)，\(b<0\)，\(c>0\)

C. \(a>0\)，\(b<0\)，\(c<0\)

D. \(a<0\)，\(b>0\)，\(c<0\)

解析：

由题意得，\(f(x)\)的图象开口向上，则\(a>0\)。又因为\(f(x)\)与\(x\)轴的两个交点为\((1,0)\)和\((3,0)\)，所以\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，即：

\[ \begin{cases} a+b+c=0 \\ 9a+3b+c=0 \end{cases} \]

解得\(b=-2a\)，\(c=a\)。由于\(a>0\)，则\(b<0\)，\(c>0\)。故选B。

2. 多项选择题

例题：设函数\(f(x)=\frac{x^3-3x+1}{x-1}\)，则下列说法正确的是：

A. \(f(x)\)的定义域为\(\{x|x\neq1\}\)

B. \(f(x)\)的对称中心为\((0,1)\)

C. \(f(x)\)的图像在\(x=1\)处有一个间断点

D. \(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值

解析：

A选项：由\(f(x)\)的定义可知，\(f(x)\)的定义域为\(\{x|x\neq1\}\)，故A正确。

B选项：令\(x-1=t\)，则\(f(x)=\frac{(t+1)^3-3(t+1)+1}{t}=t^2+t+1\)，令\(t=0\)，得\(x=1\)，所以\(f(x)\)的对称中心为\((1,1)\)，故B错误。

C选项：由A选项知，\(f(x)\)的定义域为\(\{x|x\neq1\}\)，所以\(f(x)\)在\(x=1\)处有一个间断点，故C正确。

D选项：由B选项知，\(f(x)\)的对称中心为\((1,1)\)，所以\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值，故D正确。

故选ACD。

三、非选择题解析

1. 解析几何

例题：在平面直角坐标系中，已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1(-c,0)\)和\(F_2(c,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=120^\circ\)，\(|PF_1|=4\)，\(|PF_2|=6\)，则椭圆的方程为：

解析：

由题意得，\(|F_1F_2|=2c\)，\(|PF_1|+|PF_2|=10\)，又因为\(\angle F_1PF_2=120^\circ\)，所以\(\triangle F_1PF_2\)为等腰三角形，\(|PF_1|=|PF_2|=5\)。由余弦定理得：

\[ |F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos 120^\circ=25+25-2\times5\times5\times\left(-\frac{1}{2}\right)=75 \]

所以\(2c=\sqrt{75}\)，\(c=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)。又因为\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，所以\(a=5\)。由椭圆的定义得：

\[ a^2=b^2+c^2 \]

代入\(a=5\)，\(c=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)，得\(b^2=25-\frac{75}{4}=\frac{25}{4}\)，所以\(b=\frac{5}{2}\)。因此，椭圆的方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{\frac{25}{4}}=1\)。

2. 函数与导数

例题：设\(f(x)=x^3-3x+1\)，\(g(x)=\ln(x+1)\)，则下列说法正确的是：

A. \(f(x)\)在\(x=0\)处取得极小值

B. \(g(x)\)在\(x=0\)处取得极大值

C. \(f(x)\)的图像在\(x=0\)处有一个拐点

D. \(g(x)\)的图像在\(x=0\)处有一个拐点

解析：

A选项：\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x<0\)时，\(f'(x)<0\)，当\(0<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，所以\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极小值，故A正确。

B选项：\(g'(x)=\frac{1}{x+1}\)，令\(g'(x)=0\)，得\(x=-1\)。当\(x<-1\)时，\(g'(x)<0\)，当\(x>-1\)时，\(g'(x)>0\)，所以\(g(x)\)在\(x=0\)处取得极小值，故B错误。

C选项：\(f''(x)=6x\)，令\(f''(x)=0\)，得\(x=0\)。当\(x<0\)时，\(f''(x)<0\)，当\(x>0\)时，\(f''(x)>0\)，所以\(f(x)\)的图像在\(x=0\)处有一个拐点，故C正确。

D选项：\(g''(x)=\frac{-1}{(x+1)^2}\)，令\(g''(x)=0\)，得\(x=-1\)。当\(x<-1\)时，\(g''(x)<0\)，当\(x>-1\)时，\(g''(x)<0\)，所以\(g(x)\)的图像在\(x=0\)处没有拐点，故D错误。

故选AC。