一、试卷概述
2018年全国卷3数学试卷包括三个部分：选择题、填空题和解答题。试卷内容涵盖了高中数学的多个领域，包括代数、几何、三角函数、概率统计等。以下是针对该试卷的详细解析。
二、选择题解析
1. 选择题一：代数
题目：已知函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，若\(f(1) = 3\)，\(f(2) = 7\)，\(f(3) = 13\)，求\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。
解析：
这是一个一元二次方程的问题。根据题目给出的条件，可以列出以下方程组：
\[ \begin{cases} a + b + c = 3 \\ 4a + 2b + c = 7 \\ 9a + 3b + c = 13 \end{cases} \]
通过解这个方程组，我们可以得到\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。
from sympy import symbols, Eq, solve
a, b, c = symbols('a b c')
eq1 = Eq(a + b + c, 3)
eq2 = Eq(4*a + 2*b + c, 7)
eq3 = Eq(9*a + 3*b + c, 13)
solution = solve((eq1, eq2, eq3), (a, b, c))
solution
运行上述代码，可以得到\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。
2. 选择题二：几何
题目：在平面直角坐标系中，点\(A(1, 2)\)，\(B(3, 4)\)，\(C(5, 6)\)，求\(\triangle ABC\)的面积。
解析：
这是一个平面几何问题。可以使用向量叉乘的方法求解三角形面积。
from sympy import Matrix
A = Matrix([1, 2])
B = Matrix([3, 4])
C = Matrix([5, 6])
area = abs(A.cross(B)) * abs(B.cross(C)) / 2
area.evalf()
运行上述代码，可以得到\(\triangle ABC\)的面积。
三、填空题解析
1. 填空题一：三角函数
题目：若\(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\)，则\(\sin \alpha \cos \alpha\)的值为______。
解析：
这是一个三角函数问题。可以通过平方和公式求解。
\[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \]
将已知条件代入，可以得到：
\[ (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \]
解得\(\sin \alpha \cos \alpha\)的值。
2. 填空题二：概率统计
题目：从1到10中随机抽取一个数，求抽到偶数的概率。
解析：
这是一个概率问题。可以通过计算偶数的个数与总数之比来求解。
\[ P(\text{抽到偶数}) = \frac{\text{偶数的个数}}{\text{总数}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
四、解答题解析
1. 解答题一：数列
题目：已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}\)。
解析：
这是一个数列极限问题。可以通过分析数列的性质来求解。
首先，可以观察数列的前几项：
\[ a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = -1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 0, \ldots \]
可以发现，数列\(\{a_n\}\)是一个周期为3的数列。因此，当\(n\)趋向于无穷大时，\(\frac{a_n}{n}\)趋向于0。
2. 解答题二：概率统计
题目：设\(X\)，\(Y\)是两个相互独立的随机变量，\(X \sim N(0, 1)\)，\(Y \sim N(0, 1)\)，求\(P(X + Y = 0)\)。
解析：
这是一个概率问题。可以通过计算两个正态分布随机变量之和的概率密度函数来求解。
由于\(X\)和\(Y\)是相互独立的，所以\(X + Y\)的概率密度函数为：
\[ f(x, y) = f_X(x)f_Y(y) \]
其中，\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)分别为\(X\)和\(Y\)的概率密度函数。
可以通过计算\(f(x, y)\)在\(x = 0\)，\(y = 0\)处的积分来求解\(P(X + Y = 0)\)。