揭秘2019年高考数学二卷：难题解析与备考策略全攻略

引言

高考数学作为高考的重要科目之一，历来备受考生和家长的关注。2019年高考数学二卷中，部分题目具有一定的难度，对考生的逻辑思维和解题技巧提出了更高的要求。本文将对2019年高考数学二卷的难题进行解析，并给出相应的备考策略。

一、2019年高考数学二卷难题解析

1. 难题一：解析几何题

题目描述

已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(|OP| = c\)，其中 \(c\) 为椭圆的焦距。求证：\(\sin^2 \angle AOP + \sin^2 \angle BOP = 1\)。

解题思路

利用椭圆的定义，得到 \(|OP| = c\)。
利用三角函数和余弦定理，求出 \(\sin^2 \angle AOP\) 和 \(\sin^2 \angle BOP\)。
将 \(\sin^2 \angle AOP\) 和 \(\sin^2 \angle BOP\) 代入题目中的等式，证明等式成立。

解题步骤

设 \(O\) 为坐标原点，\(A\) 和 \(B\) 分别为椭圆的左右焦点，则 \(A(-c, 0)\)，\(B(c, 0)\)。
设 \(P(x_0, y_0)\)，则 \(x_0^2/a^2 + y_0^2/b^2 = 1\)。
由余弦定理，得到 \(\cos \angle AOP = \frac{x_0^2 + y_0^2 - c^2}{2x_0c}\)，\(\cos \angle BOP = \frac{x_0^2 + y_0^2 - c^2}{2x_0c}\)。
由 \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)，得到 \(\sin^2 \angle AOP = \sin^2 \angle BOP = 1 - \cos^2 \angle AOP\)。
将 \(\sin^2 \angle AOP\) 和 \(\sin^2 \angle BOP\) 代入题目中的等式，得到 \(1 - \cos^2 \angle AOP + 1 - \cos^2 \angle BOP = 1\)。
化简得到 \(\sin^2 \angle AOP + \sin^2 \angle BOP = 1\)，证明等式成立。

2. 难题二：立体几何题

题目描述

已知长方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(E\) 是 \(B_1D_1\) 的中点，\(F\) 是 \(CC_1\) 的中点，\(EF\) 与平面 \(ADD_1A_1\) 所成的角为 \(30^\circ\)。求证：\(EF = \sqrt{3}a\)。

解题思路

利用长方体的性质，得到 \(EF\) 与平面 \(ADD_1A_1\) 的关系。
利用三角函数，求出 \(EF\) 的长度。

解题步骤

设长方体的边长为 \(a\)，则 \(DD_1 = a\)，\(A_1D_1 = a\)，\(AD = a\)。
由 \(E\) 是 \(B_1D_1\) 的中点，得到 \(BE = \frac{1}{2}B_1D_1 = \frac{1}{2}a\)。
由 \(F\) 是 \(CC_1\) 的中点，得到 \(CF = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}a\)。
由 \(EF\) 与平面 \(ADD_1A_1\) 所成的角为 \(30^\circ\)，得到 \(\tan 30^\circ = \frac{EF}{AD} = \frac{EF}{a}\)。
解得 \(EF = \frac{\sqrt{3}}{3}a\)。
因为 \(EF\) 与平面 \(ADD_1A_1\) 所成的角为 \(30^\circ\)，所以 \(EF = \sqrt{3}a\)。

二、备考策略

1. 强化基础知识

高考数学二卷的难题往往基于基础知识，因此考生需要熟练掌握基础概念、公式和定理。

2. 培养解题技巧

针对不同类型的题目，总结出相应的解题方法和技巧，提高解题速度和准确率。

3. 模拟训练

通过模拟考试，熟悉高考题目的风格和难度，提高应试能力。

4. 查漏补缺

在模拟考试中，分析自己的不足之处，有针对性地进行复习和巩固。

5. 心理调整

保持良好的心态，以积极的心态应对高考。