高等数学是数学学科的一个重要分支，它不仅包含了数学的基本理论，还涵盖了大量的应用。东北大学的高等数学教科书在高等教育领域享有盛誉，它不仅系统全面地介绍了高等数学的知识体系，更重要的是，它能够帮助学生改变思维方式，培养严密的逻辑思维和创新能力。
第一章：高等数学概述
1.1 高等数学的定义
高等数学是一门研究数学问题的抽象方法、数学结构的性质以及数学应用的学科。它主要研究函数、极限、导数、积分、级数、微分方程等内容。
1.2 高等数学的重要性
高等数学是现代科学技术的基石，它对于培养理工科学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力具有重要意义。
第二章：东北大学高等数学教材特点
2.1 系统性
东北大学的高等数学教材结构严谨，逻辑清晰，从基础概念到高级理论，层层递进，使学生对高等数学有一个全面、系统的认识。
2.2 实用性
教材中包含大量的实例和习题，紧密结合实际应用，帮助学生将理论知识运用到实际问题中。
2.3 创新性
教材在内容上不断创新，引入了许多最新的数学理论和方法，拓宽了学生的知识视野。
第三章：改变思维的途径
3.1 培养抽象思维能力
高等数学中的许多概念和理论都是高度抽象的，通过学习高等数学，学生可以锻炼自己的抽象思维能力。
3.2 培养逻辑思维能力
高等数学中的证明过程需要严密的逻辑推理，通过学习高等数学，学生可以培养自己的逻辑思维能力。
3.3 培养创新能力
高等数学中的许多问题都是开放性的，需要学生自己思考和探索，这有助于培养学生的创新能力。
第四章：案例分析与习题解答
4.1 案例分析
以下是一个案例分析：
问题：求函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1\)在\(x=1\)处的切线方程。
解答：
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
- 求切点坐标：\(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 1\)。
- 求切线斜率：\(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 4 = 1\)。
- 写出切线方程：\(y - 1 = 1 \cdot (x - 1)\)，即\(y = x\)。
4.2 习题解答
以下是一些习题：
- 求函数\(f(x) = e^x - x\)的导数。
- 求极限\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
- 求函数\(f(x) = x^2 - 2x + 1\)的极值。
第五章：总结
东北大学高等数学教科书是一本具有很高价值的教材，它不仅能够帮助学生掌握高等数学的知识，更重要的是，它能够改变学生的思维方式，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。