引言
2017年高考数学试卷中，一道以太极图为背景的几何题引起了广泛关注。这道题目不仅考查了学生的几何知识，还融入了中国传统文化元素。本文将深入解析这道难题，揭示太极图中的数学秘密。
题目回顾
题目描述：在直角坐标系中，已知点A(2,0)，点B(0,2)，点C在x轴上，且三角形ABC为等腰直角三角形。求点C的坐标。
解题思路
- 理解题意：首先明确题目要求，即找到满足条件的点C的坐标。
- 分析条件：根据题目条件，三角形ABC为等腰直角三角形，且点A和点B分别为直角顶点的对角点。
- 寻找解题方法：由于题目涉及等腰直角三角形，可以考虑使用勾股定理或中位线定理来解题。
解题步骤
步骤一：建立坐标系
在直角坐标系中，点A(2,0)和点B(0,2)分别位于x轴和y轴上。
步骤二：确定点C的可能位置
由于三角形ABC为等腰直角三角形，点C可能在x轴的负半轴或正半轴上。
步骤三：使用勾股定理求解
假设点C的坐标为(x,0)，则根据勾股定理，有： [ AC^2 = AB^2 + BC^2 ] [ (x - 2)^2 + 0^2 = 2^2 + 2^2 ] [ (x - 2)^2 = 8 ] [ x - 2 = \pm 2\sqrt{2} ] 因此，点C的坐标为： [ C_1(2 + 2\sqrt{2}, 0) ] [ C_2(2 - 2\sqrt{2}, 0) ]
步骤四：验证中位线定理
如果点C在y轴上，即点C的坐标为(0,y)，则根据中位线定理，有： [ AC = \frac{1}{2}AB ] [ \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} ] [ 4 + y^2 = 8 ] [ y^2 = 4 ] [ y = \pm 2 ] 因此，点C的坐标为： [ C_3(0, 2) ] [ C_4(0, -2) ]
结论
通过以上步骤，我们得到了四个可能的点C的坐标，分别为： [ C_1(2 + 2\sqrt{2}, 0) ] [ C_2(2 - 2\sqrt{2}, 0) ] [ C_3(0, 2) ] [ C_4(0, -2) ]
这些坐标均满足题目条件，因此都是正确的答案。
太极图中的秘密
这道题目以太极图为背景，将中国传统文化元素融入数学问题中。太极图中的阴阳两极相互依存、相互转化，这与数学中的对称性和变换思想有着异曲同工之妙。通过这道题目，我们可以体会到数学与文化的交融之美。