破解2017年四川数学高考难题：揭秘高分策略与思维技巧

引言

2017年四川数学高考卷以其难度高、题型新颖而备受关注。本文旨在解析2017年四川数学高考中的几道难题，并提供相应的解题策略与思维技巧，帮助考生在类似的高考中取得高分。

难题解析

题目一：解析几何问题

题目描述：给定椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 和直线 $y = kx + b$，求直线与椭圆相切的条件。

解题策略：

代入法：将直线方程代入椭圆方程，得到关于 $x$ 的二次方程。
判别式法：由于直线与椭圆相切，因此二次方程有唯一解，即判别式 $\Delta = 0$。
求解 $k$ 和 $b$：通过判别式求得 $k$ 和 $b$ 的关系。

详细解答：代入直线方程 $y = kx + b$ 到椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，得到： $$ \frac{x^2}{4} + \frac{(kx + b)^2}{3} = 1 $$ 整理得到关于 $x$ 的二次方程： $$ (3 + 4k^2)x^2 + 8kbx + 4b^2 - 12 = 0 $$ 由于直线与椭圆相切，判别式 $\Delta = 0$，即： $$ (8kb)^2 - 4(3 + 4k^2)(4b^2 - 12) = 0 $$ 化简得到： $$ 16k^2b^2 - 16(3 + 4k^2)(b^2 - 3) = 0 $$ 进一步化简得到： $$ b^2 = 3 + 4k^2 $$ 这就是直线与椭圆相切的条件。

题目二：数列问题

题目描述：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 1}$，求 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$。

解题策略：

递推关系：利用数列的递推关系，尝试找到数列的通项公式。
极限性质：利用极限的性质，求解 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$。

详细解答：首先，我们可以尝试找到数列的通项公式。由于 $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 1}$，我们可以尝试平方两边，得到： $$ a_{n+1}^2 = 2a_n + 1 $$ 然后，我们可以将 $n$ 替换为 $n+1$，得到： $$ a_{n+2}^2 = 2a_{n+1} + 1 $$ 将上面两个方程相减，得到： $$ a_{n+2}^2 - a_{n+1}^2 = 2a_{n+1} - 2a_n $$ 化简得到： $$ (a_{n+2} - a_{n+1})(a_{n+2} + a_{n+1}) = 2(a_{n+1} - a_n) $$ 由于 $a_1 = 1$，我们可以得到 $a_2 = \sqrt{3}$。因此，$a_2 - a_1 = \sqrt{3} - 1 > 0$，$a_2 + a_1 = \sqrt{3} + 1 > 0$，$a_1 - a0 = 1 - 0 = 1 > 0$。因此，我们可以得到： $$ \frac{a{n+2} - a{n+1}}{a{n+1} - an} = \frac{2(a{n+1} - an)}{(a{n+2} - a{n+1})(a{n+2} + a{n+1})} = \frac{2}{a{n+2} + a{n+1}} $$ 由于 $a{n+2} + a{n+1} > 0$，我们可以得到： $$ \lim{n\to\infty} \frac{a{n+2} - a{n+1}}{a_{n+1} - a_n} = 0 $$ 因此，${an}$ 是一个递减数列。由于 $a{n+1} = \sqrt{2an + 1}$，我们可以得到： $$ a{n+1}^2 - a_n^2 = 2a_n + 1 - a_n^2 = 1 + a_n - a_n^2 $$ 由于 $a_n^2 - a_n - 1 = 0$ 的解为 $a_n = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，我们可以得到 $an = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。因此，我们可以得到： $$ \lim{n\to\infty} \frac{an}{a{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\sqrt{2a_n + 1}} = \frac{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}{\sqrt{2\cdot\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1}} = \frac{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}{\sqrt{3 + \sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$

高分策略与思维技巧

高分策略

基础知识：扎实掌握基础知识，这是解决难题的基础。
阅读理解：仔细阅读题目，理解题目的意图。
方法选择：根据题目的特点选择合适的方法。
逻辑推理：运用逻辑推理，逐步推导出答案。

思维技巧

逆向思维：从问题的反面考虑，寻找解题的突破口。
归纳总结：将解题过程中的关键步骤归纳总结，形成解题模板。
类比联想：将相似的问题进行类比，寻找解题的灵感。
图形化思考：将问题转化为图形，利用几何图形的性质解题。

总结

2017年四川数学高考难题具有很高的难度，但通过掌握合适的解题策略和思维技巧，我们可以有效地解决这些问题。希望本文的解析能够对考生有所帮助。