引言

2017年山东高考数学试卷以其难度和深度著称，其中不乏一些极具挑战性的难题。本文将深入分析这些难题，并提供相应的解题策略与技巧，帮助考生在高考中取得高分。

一、2017山东高考数学难题回顾

1. 难题一：圆锥曲线问题

问题描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右顶点分别为\(A(-a,0)\)、\(B(a,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle APB=60^\circ\)，求\(\frac{b^2}{a^2}\)的值。

2. 难题二：数列问题

问题描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1\)，求\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}\)。

3. 难题三：概率问题

问题描述：甲、乙两人进行射击比赛，甲射击一次命中目标的概率为\(\frac{1}{3}\)，乙射击一次命中目标的概率为\(\frac{2}{5}\)。若甲、乙两人各射击三次，求至少命中一次目标的概率。

二、解题策略与技巧

1. 针对圆锥曲线问题

  • 策略：利用椭圆的性质，结合三角函数和三角形的面积公式进行求解。
  • 技巧：通过建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用代数方法求解。
import sympy as sp

# 定义变量
a, b, x, y = sp.symbols('a b x y')

# 椭圆方程
ellipse_eq = sp.Eq(x**2 / a**2 + y**2 / b**2, 1)

# 三角形面积公式
area = sp.Abs(a * b) / 2

# 解方程
solution = sp.solve([ellipse_eq, sp.Eq(sp.sin(60)*a, area)], (a, b))
solution

2. 针对数列问题

  • 策略：利用数列的递推关系，结合极限的性质进行求解。
  • 技巧：通过观察数列的变化趋势，找出数列的通项公式，进而求解极限。
# 定义数列
a_n = [1]  # 初始值
for n in range(1, 10):  # 取前10项
    a_n.append(a_n[-1]**2 - 2 * a_n[-1] + 1)

# 求极限
limit = sp.limit(a_n[-1] / len(a_n), len(a_n), sp.oo)
limit

3. 针对概率问题

  • 策略：利用概率的加法原理和乘法原理进行求解。
  • 技巧：通过将问题分解为若干个小问题，分别求解每个小问题的概率，再利用概率的加法原理和乘法原理求解整个问题的概率。
# 定义概率
p_a = 1/3
p_b = 2/5

# 求至少命中一次目标的概率
p_at_least_one = 1 - ((1 - p_a)**3 * (1 - p_b)**3)
p_at_least_one

三、总结

通过以上分析，我们可以看到，解决高考数学难题需要考生具备扎实的数学基础、灵活的解题策略和丰富的解题技巧。希望本文能为考生在高考中取得优异成绩提供一些帮助。