引言
2017年，云南高考数学盛宴再次引发全国关注。高考数学难题一直是考生和教师关注的焦点，它们不仅考验考生的数学能力，还蕴含着丰富的数学思想和教育意义。本文将深入剖析2017年云南高考数学难题，揭示其背后的奥秘与挑战。
一、难题概述
2017年云南高考数学试卷中，难度较高的题目主要集中在以下几个部分：
- 函数与导数：涉及函数的单调性、极值、最值等概念，要求考生具备较强的逻辑推理和运算能力。
- 立体几何：考察空间想象能力和几何构造能力，题目往往涉及复杂的几何图形和空间关系。
- 概率与统计：涉及概率计算、统计图表分析等，要求考生具备一定的数据分析能力。
- 解析几何：考察解析几何的基本概念和运算技巧，题目往往涉及曲线方程的求解和性质分析。
二、难题解析
1. 函数与导数
以2017年云南高考数学试卷中的某一道题目为例：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求\(f(x)\)的极值。
解析：
- 首先求出\(f'(x)\)，即\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
- 令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
- 分析\(f'(x)\)的符号变化，可知当\(x<\frac{2}{3}\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
- 因此，\(f(x)\)在\(x=\frac{2}{3}\)处取得极大值，极大值为\(f(\frac{2}{3})=\frac{5}{27}\)；在\(x=1\)处取得极小值，极小值为\(f(1)=1\)。
2. 立体几何
以2017年云南高考数学试卷中的某一道题目为例：
题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，点\(E\)、\(F\)分别是\(A_1B_1\)、\(BC\)的中点，求异面直线\(A_1E\)和\(BF\)的距离。
解析：
- 连接\(A_1B\)，\(BF\)，\(BE\)。
- 由于\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)为正方体，故\(A_1B=BE=2\sqrt{2}\)，\(BF=\sqrt{2}\)。
- 由三角形中位线定理，\(A_1E=\frac{1}{2}A_1B=2\)，\(EF=\frac{1}{2}BF=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
- 根据勾股定理，\(AE=\sqrt{A_1E^2+EF^2}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)。
- 由于\(A_1E\)和\(BF\)是异面直线，故它们之间的距离即为\(AE\)的长度，即\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)。
3. 概率与统计
以2017年云南高考数学试卷中的某一道题目为例：
题目：某班级有50名学生，其中男生25名，女生25名。现从该班级中随机抽取3名学生参加比赛，求抽到的3名学生中至少有1名女生的概率。
解析：
- 设事件\(A\)为“抽到的3名学生中至少有1名女生”，事件\(B\)为“抽到的3名学生中全是男生”。
- 由组合数学知识，\(P(B)=\frac{C_{25}^3}{C_{50}^3}\)。
- 事件\(A\)的对立事件为“抽到的3名学生中全是男生”，即\(P(A)=1-P(B)\)。
- 计算得\(P(A)=1-\frac{C_{25}^3}{C_{50}^3}=\frac{11}{12}\)。
4. 解析几何
以2017年云南高考数学试卷中的某一道题目为例：
题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的左、右焦点分别为\(F_1(-c,0)\)、\(F_2(c,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，求椭圆的长轴长度\(2a\)。
解析：
- 由椭圆的定义，\(PF_1+PF_2=2a\)。
- 由勾股定理，\(PF_1^2+PF_2^2=4c^2\)。
- 由题意，\(\angle F_1PF_2=90^\circ\)，故\(PF_1^2+PF_2^2=PF_1\cdot PF_2\)。
- 联立上述三个方程，解得\(a^2=c^2+b^2\)。
- 由于椭圆的焦距为\(2c\)，故长轴长度\(2a=2\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{2c^2}=4c\)。
三、总结
2017年云南高考数学盛宴中的难题，不仅考验了考生的数学能力，还体现了数学的广泛应用和学科交叉。通过对这些难题的解析，我们可以更好地理解数学的本质和内涵，为今后的学习和研究奠定基础。