引言

中考是每个学生人生中的一个重要转折点，数学作为中考的必考科目，其难度往往让许多学生感到压力。为了帮助广大考生更好地备战中考数学，本文将深入解析2010年龙岩中考数学中的一道难题，通过详细的分析和解答，帮助考生掌握解题思路，提高解题能力。

难题回顾

2010年龙岩中考数学卷中，一道关于几何证明的题目让许多考生感到困惑。题目如下：

题目：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，AD垂直于BC于点E。若∠AED=60°，求证：BD=DC。

解题思路

要证明BD=DC，我们需要从已知条件出发，逐步推导出BD和DC之间的关系。

  1. 利用等腰三角形的性质：由于AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。
  2. 构造辅助线：连接AE，形成四边形ABCE。
  3. 证明四边形ABCE是菱形：由于∠AED=60°，且AD垂直于BC，所以∠DAE=30°。在等腰三角形ABC中，∠BAC=∠ABC，因此∠BAC=∠BEC。又因为∠BAC+∠ABC+∠BEC=180°，所以∠BEC=60°。同理可证∠CEB=60°。因此，四边形ABCE的四边都相等，即AB=BC=CE=EA，所以ABCE是菱形。
  4. 利用菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分。由于AE垂直平分BC，所以BD=DC。

解题步骤

  1. 证明AB=AC：由题意可知，AB=AC。
  2. 证明∠ABC=∠ACB：由等腰三角形的性质可知，∠ABC=∠ACB。
  3. 连接AE：在三角形ABC中，连接AE。
  4. 证明∠AED=60°：由题意可知，∠AED=60°。
  5. 证明∠DAE=30°：由于AD垂直于BC，所以∠DAE=90°-∠AED=90°-60°=30°。
  6. 证明∠BAC=∠ABC：在等腰三角形ABC中，∠BAC=∠ABC。
  7. 证明∠BAC+∠ABC+∠BEC=180°：∠BAC+∠ABC+∠BEC=∠BAC+∠BAC+∠BAC=3∠BAC=180°，所以∠BAC=60°。
  8. 证明∠BEC=60°：由∠BAC=60°和∠BAC+∠ABC+∠BEC=180°可得∠BEC=60°。
  9. 证明∠CEB=60°：同理可证∠CEB=60°。
  10. 证明AB=BC=CE=EA：由四边形ABCE的四边都相等可知AB=BC=CE=EA。
  11. 证明ABCE是菱形：由于AB=BC=CE=EA，所以ABCE是菱形。
  12. 证明BD=DC：由于AE垂直平分BC，所以BD=DC。

总结

通过以上步骤，我们成功证明了BD=DC。这道题目考查了等腰三角形的性质、菱形的性质以及构造辅助线的能力。在备战中考数学的过程中，掌握这些解题技巧对于解决类似问题具有重要意义。希望本文能帮助广大考生在中考中取得优异成绩！