揭秘2012年高考四川数学：难题解析与备考策略全攻略

一、2012年高考四川数学试卷概述

2012年高考四川数学试卷以全面考查学生数学基础知识和能力为宗旨，试题设计注重培养学生的逻辑思维、创新意识和应用能力。试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，涵盖了数学的多个分支，包括代数、几何、三角、概率等。

二、2012年高考四川数学难题解析

1. 选择题难题解析

例题：若函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$在$x=1$处可导，则实数$a$的值为多少？

解析：首先，判断函数$f(x)$在$x=1$处的连续性。由于$x^2 - 2x + 1$在$x=1$处为0，因此$f(x)$在$x=1$处无定义，但可以通过因式分解得到$f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$。由于分母为平方项，所以$f(x)$在$x=1$处连续。

接下来，利用导数的定义求$f(x)$在$x=1$处的导数： $$ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{(x-1)^2} - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{(x-1)^3} = -1 $$ 因此，$a=-1$。

2. 填空题难题解析

例题：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f(x)$的极值点。

解析：首先，求出$f(x)$的导数： $$ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 $$ 令$f’(x) = 0$，解得$x_1 = \frac{2-\sqrt{2}}{3}$，$x_2 = \frac{2+\sqrt{2}}{3}$。

接下来，利用二阶导数判断极值点： $$ f''(x) = 6x - 6 $$ 当$x = \frac{2-\sqrt{2}}{3}$时，$f”(x) < 0$，因此$x_1$为极大值点；当$x = \frac{2+\sqrt{2}}{3}$时，$f”(x) > 0$，因此$x_2$为极小值点。

3. 解答题难题解析

例题：已知函数$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。

解析：首先，对$f(x)$进行因式分解： $$ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 + 1)^2}{(x^2 - 1)^2} $$ 接下来，利用商的导数法则求$f’(x)$： $$ f'(x) = \frac{(2x(x^2 + 1))(x^2 - 1)^2 - (x^2 + 1)^2(2x)(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^4} $$ 化简得： $$ f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1)(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^3} $$

三、备考策略全攻略

1. 基础知识要扎实

高考数学试卷涵盖的知识点广泛，考生需要全面掌握基础知识。建议考生在备考过程中，针对每个知识点进行系统复习，确保对基础概念、公式、定理等有深入理解。

2. 做题要注重质量

备考过程中，考生要注重做题的质量，而不是数量。在做题时，要注重理解题目背后的数学原理和解题方法，提高解题技巧。

3. 加强练习与应用

考生可以通过做历年高考真题、模拟题等方式，加强对数学知识的运用。在练习过程中，要注意总结解题规律，提高解题速度和准确率。

4. 保持良好的心态

高考是一场考验考生心理素质的战役。考生要保持良好的心态，正确对待考试，相信自己，勇往直前。