引言

2015年江西高考数学理科试卷以其难度和深度著称，本文将深入解析该试卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。

一、试卷概述

2015年江西高考数学理科试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等知识点。试卷难度适中，但部分题目具有挑战性。

二、难题解析

1. 函数题

题目描述：已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)，求\(f(x)\)的值域。

解题思路：

  • 首先，将\(f(x)\)化简为\(f(x)=\frac{1}{x(x+1)}\)。
  • 然后，利用基本不等式，得到\(f(x)\geq\frac{1}{2}\)。
  • 最后，结合函数图像，得出\(f(x)\)的值域为\([\frac{1}{2},+\infty)\)。

详细步骤：

1. 将$f(x)$化简为$f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$。
2. 利用基本不等式，得到$f(x)\geq\frac{1}{2}$。
3. 结合函数图像，得出$f(x)$的值域为$[\frac{1}{2},+\infty)$。

2. 数列题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解题思路：

  • 首先，将通项公式代入，得到\(\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}\)。
  • 然后，利用洛必达法则，求出极限的值。

详细步骤：

1. 将通项公式代入，得到$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}$。
2. 利用洛必达法则，求出极限的值为2。

3. 立体几何题

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(AB=2\)，\(E\)为\(A_1B_1\)的中点，求\(AE\)的长度。

解题思路：

  • 首先，连接\(A_1E\)，\(BE\)，利用勾股定理求出\(AE\)的长度。
  • 然后，结合正方体的性质，得出\(AE=\sqrt{3}\)。

详细步骤：

1. 连接$A_1E$，$BE$，利用勾股定理求出$AE$的长度。
2. 结合正方体的性质，得出$AE=\sqrt{3}$。

4. 解析几何题

题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求椭圆的方程。

解题思路：

  • 首先，根据离心率的定义，得到\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)。
  • 然后，利用椭圆的性质，得到\(a^2=b^2+c^2\)。
  • 最后，结合已知条件，求出椭圆的方程。

详细步骤：

1. 根据离心率的定义，得到$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
2. 利用椭圆的性质，得到$a^2=b^2+c^2$。
3. 结合已知条件，求出椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$。

5. 概率统计题

题目描述：已知某班级有30名学生，其中有15名男生，15名女生。随机选取3名学生，求选取的3名学生中至少有1名女生的概率。

解题思路：

  • 首先，计算选取的3名学生都是男生的概率。
  • 然后，利用对立事件概率公式，求出至少有1名女生的概率。

详细步骤：

1. 计算选取的3名学生都是男生的概率为$\frac{C_{15}^3}{C_{30}^3}$。
2. 利用对立事件概率公式，求出至少有1名女生的概率为$1-\frac{C_{15}^3}{C_{30}^3}$。

三、备考策略

1. 系统复习

考生应系统复习高中数学知识，特别是函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等知识点。

2. 加强练习

考生应多做真题、模拟题，熟悉高考题型和难度，提高解题速度和准确率。

3. 注重基础

考生应注重基础知识的学习，掌握基本概念、公式和定理，为解决难题打下坚实基础。

4. 培养思维

考生应培养逻辑思维、空间想象能力和创新意识，提高解题能力。

5. 保持心态

考生应保持良好的心态，调整作息时间，确保高考时精力充沛。

结语

通过对2015年江西高考数学理科试卷难题的解析和备考策略的介绍，希望考生能够从中受益，为未来的高考做好准备。