揭秘2016年全国数学高考：难题解析与备考策略全解析

本文将深入解析2016年全国数学高考中的难题，并针对这些难题提供备考策略。文章将分为以下几个部分：

2016年全国数学高考概述
难题解析
备考策略

1. 2016年全国数学高考概述

2016年全国数学高考在保持传统题型的基础上，增加了不少创新题，特别是在解析几何、立体几何、函数与导数等模块。这些题目不仅考察了学生的基础知识，还考察了他们的思维能力和解决问题的能力。

2. 难题解析

2.1 解析几何

例题：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1\)、\(F_2\)，直线 \(l\) 过 \(F_1\) 且与椭圆相切于点 \(A\)。若直线 \(l\) 与 \(x\) 轴的交点为 \(B\)，则 \(\triangle ABF_2\) 的面积为 ________。

解题思路：

根据椭圆的定义，得到 \(AF_1 = AF_2 = a\)。
由于 \(l\) 与椭圆相切，可得 \(\angle AF_1F_2 = 90^\circ\)。
在 \(\triangle ABF_2\) 中，由勾股定理得到 \(AB = \sqrt{AF_1^2 + AF_2^2} = a\sqrt{2}\)。
计算 \(S_{\triangle ABF_2} = \frac{1}{2} \times AB \times AF_2 = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\)。

2.2 立体几何

例题：在四面体 \(A-BCD\) 中，\(AB = 2\)，\(AC = 3\)，\(AD = 4\)，\(\angle ABC = 60^\circ\)，\(\angle ACD = 45^\circ\)。求四面体 \(A-BCD\) 的体积。

解题思路：

首先，计算 \(BD\) 的长度，利用余弦定理得到 \(BD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \angle ABC = 4 + 9 - 2 \times 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 7\)。
因此，\(BD = \sqrt{7}\)。
由于 \(\angle ACD = 45^\circ\)，可得 \(CD = \frac{AC}{\cos 45^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2}\)。
计算 \(S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD = \frac{1}{2} \times 2 \times 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)。
由于 \(AD \perp\) 平面 \(BCD\)，可得 \(V_{A-BCD} = \frac{1}{3} \times S_{\triangle BCD} \times AD = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{2} \times 4 = 4\sqrt{2}\)。

2.3 函数与导数

例题：设 \(f(x) = \frac{x^3}{3} + x + 1\)，求 \(f(x)\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上的最小值。

解题思路：

对 \(f(x)\) 求导，得到 \(f'(x) = x^2 + 1\)。
由于 \(f'(x) > 0\) 对所有 \(x \in [1, +\infty)\) 成立，可知 \(f(x)\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上单调递增。
因此，\(f(x)\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上的最小值为 \(f(1) = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}\)。

3. 备考策略

为了更好地备考全国数学高考，以下是一些建议：

基础知识：扎实掌握高中数学基础知识，特别是函数、三角、立体几何、解析几何等模块。
解题技巧：熟练掌握各种解题技巧，如代入法、换元法、待定系数法等。
模拟试题：多做模拟试题，熟悉考试题型和难度。
查漏补缺：针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习。
心理调节：保持良好的心态，避免考前紧张和焦虑。