揭秘2016年全国数学高考题：难题解析与备考策略全解析

引言

2016年全国数学高考题以其深度和广度受到了广泛关注。本文将深入解析2016年全国数学高考中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考中的挑战。

一、2016年全国数学高考题概述

2016年全国数学高考题分为文科和理科两个版本，题目类型包括选择题、填空题和解答题。题目内容涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等多个数学分支。

二、难题解析

1. 文科数学难题解析

（1）函数题

题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的值域。

解析：首先，对函数进行化简： $$f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1 + x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1}.$$ 由于分母$x^2-1$在$x \neq \pm 1$时恒大于0，因此$f(x)$的值域为全体实数除以0，即$f(x)$的值域为$\mathbb{R} \setminus {0}$。

（2）数列题

题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，求$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$。

解析：根据通项公式，有： $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} - 1}{2^n - 1}.$$ 当$n \to \infty$时，$2^n$的增长速度远大于1，因此$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to 2$。

2. 理科数学难题解析

（1）立体几何题

题目：已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，求点$A$到平面$B_1C_1D_1$的距离。

解析：连接$A_1D_1$，则$A_1D_1$垂直于平面$B_1C_1D_1$。由于$ABCD-A_1B_1C_1D_1$是正方体，$A_1D_1 = 2\sqrt{2}$。因此，点$A$到平面$B_1C_1D_1$的距离为$\sqrt{2}$。

（2）解析几何题

题目：已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求椭圆的方程。

解析：椭圆的离心率$e$定义为$e = \frac{c}{a}$，其中$c$为焦点到中心的距离，$a$为椭圆的半长轴。由题意知$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$c = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。又因为$b^2 = a^2 - c^2$，代入$c$的表达式得： $$b^2 = a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 = \frac{1}{4}a^2.$$ 因此，椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}a^2} = 1$。

三、备考策略

1. 系统复习基础知识

考生应系统复习高中数学基础知识，包括函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等。

2. 加强练习

考生应通过大量练习来提高解题能力，特别是针对高考中的难题进行专项训练。

3. 关注热点问题

考生应关注数学学科的热点问题，如新题型、新方法等，以适应高考的变化。

4. 保持良好的心态

考生在备考过程中要保持良好的心态，避免过度紧张和焦虑。