高考数学作为我国高中教育的重要组成部分，每年都会有一批极具挑战性的题目，其中2017年的第11题就是一道典型的难题。本文将深入解析这道题目的解题思路与技巧，帮助读者更好地理解高考数学的解题方法。
一、题目回顾
2017年高考数学（全国卷）第11题如下：
已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+3x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
二、解题思路
要证明\(f(x)\geq 0\)，我们可以从以下几个方面入手：
- 求导数：首先求出函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，分析其单调性。
- 求极值：根据导数的正负，找出函数\(f(x)\)的极值点，并判断极值点处的函数值。
- 证明不等式：结合极值点和函数的单调性，证明对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
三、解题步骤
1. 求导数
对函数\(f(x)=x^3-3x^2+3x+1\)求导，得到： $\(f'(x)=3x^2-6x+3\)$
2. 求极值
令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。接下来，我们需要判断这两个极值点处的函数值。
当\(x=1\)时，\(f(1)=1^3-3\times1^2+3\times1+1=2\)。
当\(x=2\)时，\(f(2)=2^3-3\times2^2+3\times2+1=1\)。
3. 证明不等式
根据导数的正负，我们可以得出以下结论：
- 当\(x<1\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；
- 当\(1<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减；
- 当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增。
结合极值点和函数的单调性，我们可以得出以下结论：
- 当\(x<1\)时，\(f(x)<f(1)=2\)；
- 当\(1<x<2\)时，\(f(x)<f(2)=1\)；
- 当\(x>2\)时，\(f(x)>f(2)=1\)。
综上所述，对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
四、总结
2017年高考数学第11题是一道典型的难题，通过求导数、求极值和证明不等式等方法，我们成功地证明了\(f(x)\geq 0\)。这道题目考察了学生对函数性质、导数和不等式的理解和应用能力。在解题过程中，我们需要注意以下几点：
- 熟练掌握导数的概念和求导法则；
- 熟悉函数的单调性和极值点的判断方法；
- 能够运用不等式证明方法。
希望本文的解析能够帮助读者更好地理解这道题目，提高解题能力。