引言

南通市的三模数学试题历来以其难度和深度著称，2017年的试题也不例外。本文将针对当年南通市三模数学的经典试题进行详细解析，并提供相应的解题技巧，帮助读者深入理解这些题目背后的数学原理和解题思路。

一、试题回顾

1. 题目一：函数问题

题目内容：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求函数的最小值。

2. 题目二：数列问题

题目内容：在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1 + a_5 = 20\)，\(a_3 = 10\)，求该数列的前\(n\)项和\(S_n\)。

3. 题目三：立体几何问题

题目内容：在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB = 6\)，\(BB_1 = 4\)，\(\angle ABC = 90^\circ\)，求侧面积\(S_{侧}\)。

二、试题解析与解题技巧

1. 函数问题解析

解题思路：利用导数求函数的最值。

详细步骤：

  1. 求函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)的导数\(f'(x)\)。
  2. 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)。
  3. 判断\(x = 1\)为极小值点，计算\(f(1)\)得最小值。

代码示例（Python）：

import sympy as sp

# 定义变量
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 4*x + 1

# 求导
f_prime = sp.diff(f, x)

# 解方程
critical_points = sp.solveset(f_prime, x, domain=sp.S.Reals)

# 计算最小值
min_value = f.subs(x, critical_points[0])
min_value

2. 数列问题解析

解题思路：利用等差数列的性质求解。

详细步骤：

  1. 根据等差数列的性质，有\(a_1 + a_5 = 2a_3\)，代入已知条件得\(a_1 + a_5 = 20\)，\(a_3 = 10\)。
  2. 解得\(a_1 = 5\)，\(a_5 = 15\)。
  3. 利用等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)求解。

代码示例（Python）：

# 定义变量
a1, an = 5, 15
n = sp.symbols('n')

# 求解前n项和
Sn = n*(a1 + an)/2
Sn

3. 立体几何问题解析

解题思路：利用立体几何公式求解。

详细步骤：

  1. 根据直三棱柱的性质，侧面积\(S_{侧} = 2 \times AB \times BB_1\)。
  2. 代入已知条件\(AB = 6\)，\(BB_1 = 4\)计算侧面积。

代码示例（Python）：

# 定义变量
AB, BB1 = 6, 4

# 计算侧面积
S_side = 2 * AB * BB1
S_side

三、总结

通过对2017年南通市三模数学经典试题的解析，我们不仅学习了这些题目的解题方法，还掌握了相应的数学知识。希望本文能对读者的数学学习有所帮助。