引言
数学试卷的答案解析对于学生来说至关重要，它不仅可以帮助学生理解解题思路，还可以帮助他们掌握解题技巧。本文将针对2017年的数学试卷，详细解析其中的解题思路与技巧，帮助读者更好地理解和掌握数学知识。
一、选择题解析
1. 题目一
题目内容：若函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)在\(x=1\)时取得最小值，则\(a\)、\(b\)、\(c\)应满足什么条件？
解题思路：
- 利用二次函数的性质，最小值出现在对称轴上，即\(x=-\frac{b}{2a}\)。
- 由于题目要求在\(x=1\)时取得最小值，因此对称轴\(x=-\frac{b}{2a}=1\)。
解题步骤：
- \(-\frac{b}{2a}=1\)
- 解得\(b=-2a\)
- 由于二次函数开口向上，\(a>0\)。
答案：\(a>0\)，\(b=-2a\)。
2. 题目二
题目内容：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_5=55\)，\(S_8=165\)，求\(a_1\)和公差\(d\)。
解题思路：
- 利用等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\)。
- 根据已知条件列出方程组求解。
解题步骤：
- \(S_5=\frac{5}{2}(2a_1+4d)=55\)
- \(S_8=\frac{8}{2}(2a_1+7d)=165\)
- 解得\(a_1=5\)，\(d=5\)。
答案：\(a_1=5\)，\(d=5\)。
二、填空题解析
1. 题目一
题目内容：若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则\(\sin\alpha\cos\alpha\)的值为多少？
解题思路：
- 利用同角三角函数的基本关系式\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)。
- 将已知条件平方后，结合基本关系式求解。
解题步骤：
- \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac{1}{2}\)
- \(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{2}\)
- \(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{2}\)
- \(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{4}\)。
答案：\(-\frac{1}{4}\)。
2. 题目二
题目内容：若\(\log_2x+\log_4x=3\)，求\(x\)的值。
解题思路：
- 利用对数的换底公式和对数的运算性质求解。
解题步骤：
- \(\log_2x+\frac{1}{2}\log_2x=3\)
- \(\frac{3}{2}\log_2x=3\)
- \(\log_2x=2\)
- \(x=2^2=4\)。
答案：\(x=4\)。
三、解答题解析
1. 题目一
题目内容：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)，求\(f(x)\)的单调区间。
解题思路：
- 求导数\(f'(x)\)，判断导数的正负，从而确定函数的单调区间。
解题步骤：
- \(f'(x)=3x^2-6x+4\)
- 令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
- 当\(x<\frac{2}{3}\)或\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
- 当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减。
答案：函数的单调递增区间为\((-\infty,\frac{2}{3})\)和\((1,+\infty)\)，单调递减区间为\((\frac{2}{3},1)\)。
2. 题目二
题目内容：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
解题思路：
- 利用数列的通项公式，求出相邻两项的比值，然后求极限。
解题步骤：
- \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}\)
- 当\(n\to\infty\)时，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac{2^{n+1}}{2^n}=2\)。
答案：\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\)。
总结
通过对2017年数学试卷的详细解析，我们不仅了解了各种题型的解题思路与技巧，还加深了对数学知识的理解。希望本文能对读者在数学学习过程中有所帮助。