引言

2017年高考数学试卷中，第3卷的数学难题一直是考生和教师关注的焦点。本文将深入解析这些难题，并提供相应的解题技巧，帮助读者更好地理解和解题。

一、难题一：解析几何问题

题目回顾

设椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为\(F_1\)、\(F_2\)，直线\(x=3\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，且\(\angle F_1AF_2=60^\circ\)，求椭圆的方程。

解题思路

  1. 确定焦点坐标：根据椭圆的定义，焦点坐标为\(F_1(-c, 0)\)和\(F_2(c, 0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。
  2. 使用几何关系：根据题目条件，\(\angle F_1AF_2=60^\circ\)，可以构建三角形\(AF_1F_2\)，利用余弦定理求解。
  3. 计算参数：通过几何关系求出\(a\)和\(b\)的值。

解题步骤

  1. 计算\(F_1\)和\(F_2\)的坐标：\(F_1(-c, 0)\)，\(F_2(c, 0)\)。
  2. 利用余弦定理：在\(\triangle AF_1F_2\)中，\(AF_1^2 = c^2 + a^2 - 2ac\cos60^\circ\)，同理\(AF_2^2 = c^2 + a^2 - 2ac\cos60^\circ\)。
  3. 联立方程求解：联立\(AF_1^2 = 9\)和\(AF_2^2 = 9\)，解得\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)。
  4. 写出椭圆方程：\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)。

二、难题二：函数与导数问题

题目回顾

函数\(f(x) = x^3 - 3x\)在区间\([0, +\infty)\)上的最大值和最小值。

解题思路

  1. 求导数：求\(f'(x)\)，找到极值点。
  2. 判断极值：根据\(f'(x)\)的符号判断极值点的性质。
  3. 计算极值：计算\(f(x)\)在极值点的值。

解题步骤

  1. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
  2. 求极值点：令\(f'(x) = 0\)，解得\(x=1\)。
  3. 判断极值：\(f'(x)\)在\(x<1\)时为负，在\(x>1\)时为正，故\(x=1\)是极小值点。
  4. 计算极值：\(f(1) = -2\)。

三、难题三：数列问题

题目回顾

数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 3^n\)，求\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解题思路

  1. 代入通项公式：将\(a_n = 2^n - 3^n\)代入\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
  2. 化简表达式：利用极限的性质化简表达式。
  3. 计算极限：计算\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解题步骤

  1. 代入通项公式：\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} - 3^{n+1}}{2^n - 3^n}\)。
  2. 化简表达式：\(\frac{2^{n+1} - 3^{n+1}}{2^n - 3^n} = \frac{2(2^n - 3^n)}{2^n - 3^n} = 2\)。
  3. 计算极限：\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2\)。

总结

通过以上解析，我们可以看到，解决高考数学难题的关键在于深入理解题目，灵活运用数学知识和方法。在解题过程中，注意观察几何关系、函数性质和数列特性，有助于我们更好地解决这些问题。