引言

高考数学作为衡量学生数学能力的重要标准，一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考数学二卷中，一些难题不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的解题技巧。本文将针对这些难题进行详细解析，并提供相应的解题技巧。

一、2017年高考数学二卷概述

2017年高考数学二卷主要面向全国各省市的理科考生，试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分。其中，解答题部分包含了几道难度较高的题目，以下是这些难题的解析和解题技巧。

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(OP\) 的斜率为 \(k\)。求 \(k\) 的取值范围。

解题思路：

  • 利用椭圆的方程和点 \(P\) 的坐标，建立关于 \(k\) 的方程。
  • 利用椭圆的性质，将问题转化为求函数的最大值或最小值。
  • 运用导数或三角函数的性质求解。

解题步骤：

  1. 设点 \(P\) 的坐标为 \((x, y)\)，则 \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\)。
  2. 由 \(OP\) 的斜率 \(k = y/x\)，得到 \(y = kx\)。
  3. 将 \(y = kx\) 代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的方程。
  4. 求解该方程，得到 \(x\) 的取值范围。
  5. 利用 \(x\) 的取值范围，求出 \(k\) 的取值范围。

答案：\(k\) 的取值范围为 \((-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - 2\)。求 \(\lim_{n \to \infty} a_n\)。

解题思路：

  • 利用数列的递推关系，求出数列的前几项。
  • 观察数列的变化规律，判断数列的收敛性。
  • 利用数列的极限性质求解。

解题步骤：

  1. 求出数列的前几项：\(a_1 = 1\)，\(a_2 = -1\)，\(a_3 = 3\)，\(a_4 = 7\)，\(a_5 = 43\)，…
  2. 观察数列的变化规律，发现数列的项逐渐增大。
  3. 由于 \(a_{n+1} = a_n^2 - 2\)，当 \(n\) 趋于无穷大时，\(a_n\) 趋于正无穷。
  4. 因此，\(\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty\)。

答案：\(\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty\)。

3. 难题三：立体几何问题

题目描述：已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的棱长为 \(2\)，点 \(P\) 在 \(A_1B_1\) 上，且 \(AP = \sqrt{3}\)。求 \(DP\) 的长度。

解题思路：

  • 利用正方体的性质，建立空间直角坐标系。
  • 利用向量的坐标表示，求出 \(DP\) 的向量坐标。
  • 利用向量的模长公式求解。

解题步骤：

  1. 建立空间直角坐标系，以 \(D\) 为原点，\(DA\)，\(DC\)，\(DD_1\) 分别为 \(x\)，\(y\)，\(z\) 轴。
  2. 设 \(P\) 的坐标为 \((x, 0, 0)\)，则 \(A_1B_1\) 的向量为 \((2, 0, 0)\)。
  3. 由 \(AP = \sqrt{3}\)，得到 \(x^2 = 3\)，解得 \(x = \sqrt{3}\)。
  4. \(DP\) 的向量为 \((\sqrt{3}, 0, 0)\)。
  5. \(DP\) 的长度为 \(\sqrt{3}\)。

答案：\(DP\) 的长度为 \(\sqrt{3}\)。

总结

通过对2017年高考数学二卷中难题的解析，我们可以看到这些题目在考察学生基础知识的同时，还要求他们具备较强的解题技巧。掌握这些解题技巧，有助于学生在未来的学习中更好地应对类似的难题。