引言

高考数学作为衡量学生数学水平的重要考试科目，一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考数学全国卷1文科部分，试题设计新颖，难度适中，但也包含了一些具有挑战性的难题。本文将对这些难题进行详细解析，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的考试中取得更好的成绩。

难题解析

一、函数与导数

题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\)，求函数\(f(x)\)的单调区间和极值。

解析：

  1. 首先对函数\(f(x)\)求导，得到\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
  2. 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x_1 = \frac{1}{3}\)，\(x_2 = 2\)。
  3. 根据导数的符号，当\(x < \frac{1}{3}\)时，\(f'(x) > 0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(\frac{1}{3} < x < 2\)时，\(f'(x) < 0\)，函数\(f(x)\)单调递减；当\(x > 2\)时，\(f'(x) > 0\)，函数\(f(x)\)单调递增。
  4. 因此，函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty, \frac{1}{3})\)和\((2, +\infty)\)，单调递减区间为\((\frac{1}{3}, 2)\)。
  5. 计算极值：当\(x = \frac{1}{3}\)时，\(f(x) = \frac{4}{27} - \frac{1}{3} + 2 + 1 = \frac{32}{27}\)，为极大值；当\(x = 2\)时，\(f(x) = 8 - 12 + 4 + 1 = 1\)，为极小值。

二、概率与统计

题目：某班级有男生30人，女生20人，从中随机选取3名学生参加数学竞赛。求这3名学生都是男生的概率。

解析：

  1. 根据组合数学的知识，从30名男生中选取3名的方法有\(C_{30}^3\)种。
  2. 从总共50名学生中选取3名的方法有\(C_{50}^3\)种。
  3. 所以，这3名学生都是男生的概率为\(P = \frac{C_{30}^3}{C_{50}^3}\)。
  4. 计算得到\(P = \frac{4}{13}\)。

三、立体几何

题目：已知正方体的一个顶点为\(A\)，另一个顶点为\(B\)，\(AB\)的中点为\(M\)，过\(A\)，\(M\)，\(B\)三点的小圆的面积为\(\pi\)，求正方体的棱长。

解析：

  1. 根据小圆的面积，得到小圆的半径\(r = 1\)。
  2. 因为\(A\)，\(M\)，\(B\)三点构成的三角形为等腰直角三角形，所以\(AM = BM = r = 1\)。
  3. 由勾股定理得到\(AB = \sqrt{2}\)。
  4. 正方体的棱长等于对角线的长度，即正方体的棱长为\(AB = \sqrt{2}\)。

备考策略

  1. 基础知识要扎实：对数学基础知识进行系统复习，确保对概念、公式、定理的理解和运用。
  2. 加强练习：通过大量练习提高解题速度和准确性，尤其是针对高考真题进行专项训练。
  3. 培养解题思路：学习解题方法，培养逻辑思维和创造性思维，提高解题效率。
  4. 调整心态：保持良好的心态，以积极的态度面对高考，避免过度紧张和焦虑。

结语

通过对2017年高考数学全国卷1文科难题的解析和备考策略的介绍，希望考生能够更好地备战高考。在备考过程中，要注重基础知识的学习和练习，同时培养解题思路，以最佳状态迎接挑战。