揭秘2017年全国1卷数学真题答案解析：深度剖析解题思路与技巧

一、前言

2017年全国1卷数学真题作为高考数学的重要参考，其解题思路和技巧对于备战高考的学生具有重要的指导意义。本文将详细解析2017年全国1卷数学真题的答案，并对解题思路和技巧进行深度剖析。

题目：函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)的图像与\(x\)轴的交点个数是？

解析：

首先，将函数\(f(x)\)化简为\(f(x)=\frac{2}{x^2-1}\)。由于分母\(x^2-1\)在\(x=1\)和\(x=-1\)时为零，因此函数在\(x=1\)和\(x=-1\)处无定义。接下来，考虑函数的极限：

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=0,\quad \lim_{x\to -1}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\to 1}f(x)=\infty\]

由极限的性质可知，函数在\(x=-1\)处有垂直渐近线，在\(x=1\)处有水平渐近线。因此，函数的图像与\(x\)轴无交点。

答案：0

题目：已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，求第10项\(a_{10}\)。

解析：

等差数列的通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)。将已知条件代入得：

\[a_{10}=3+(10-1)\times 2=21\]

答案：21

题目：若函数\(f(x)=x^3-3x+2\)的图像与\(x\)轴的交点个数是？

解析：

首先，求函数的导数\(f'(x)=3x^2-3\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)。再求二阶导数\(f''(x)=6x\)，代入\(x=1\)得\(f''(1)=6>0\)，说明\(x=1\)是函数的极小值点。因此，函数的图像与\(x\)轴有3个交点。

答案：3

题目：已知平面直角坐标系中，点\(A(2,3)\)，点\(B(-1,-2)\)，求线段\(AB\)的中点坐标。

解析：

线段\(AB\)的中点坐标可以通过取两端点坐标的平均值得到：

\[\text{中点坐标}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+(-1)}{2},\frac{3+(-2)}{2}\right)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\]

答案：\(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

题目：已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)处的导数为0，且\(f(1)=2\)，求函数的解析式。

解析：

由题意知，\(f'(1)=2a+b=0\)，且\(f(1)=a+b+c=2\)。解得\(a=1\)，\(b=-2\)，\(c=3\)。因此，函数的解析式为\(f(x)=x^2-2x+3\)。

答案：\(f(x)=x^2-2x+3\)

题目：已知平面直角坐标系中，点\(A(2,3)\)，点\(B(-1,-2)\)，求过点\(A\)和点\(B\)的直线方程。

解析：

直线\(AB\)的斜率\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-3}{-1-2}=1\)。由点斜式可得直线方程为\(y-y_1=k(x-x_1)\)，代入点\(A\)的坐标得\(y-3=1(x-2)\)，化简得\(y=x+1\)。

答案：\(y=x+1\)

通过对2017年全国1卷数学真题的解析，我们不仅了解了各个题目的解题思路和技巧，还掌握了一些常用的数学方法。这些知识和技能对于备战高考的学生具有重要的指导意义。希望本文的解析能够帮助广大考生在高考中取得优异的成绩。